시간 흐름에 따른 지수함수의 증가 vs 일차함수의 증가

회사 A는 첫째 달에 $10000를 지급하며 매달 $5000씩 증가합니다 회사 B는 첫째 달에 $500를 지급하며 매달 금액이 두 배씩 늘어납니다 회사 B의 급여가 처음으로 회사 A의 급여를 초과하는 시점은 언제인가요? 동영상을 잠시 멈추고 직접 구해 보세요 같이 풀어 볼까요? 먼저 표를 하나 만들어 볼게요 첫 번째 열은 달을 나타내고 두 번째 열은 회사 A의 급여입니다 세 번째 열은 회사 B의 급여예요 회사 A는 첫째 달에 $10000를 지급한다고 했죠? 그러므로 첫째 달에 회사 A는 $10000를 지급합니다 달러 단위도 표시해줘야겠죠? 회사 B는 첫째 달에 $500를 지급합니다 그 다음 주어진 정보를 보면 회사 A의 급여는 매달 $5000씩 증가합니다 그러므로 두 번째 달에는 $15000를 지급하고 세 번째 달에는 $20000를 지급하겠죠 네 번째 달에는 $25000를 지급할 거예요 다섯 번째 달에는 $30000달러를 지급하겠죠 여섯 번째 달에는 $35000를 지급하고 일곱 번째 달에는 $40000를 지급할 것입니다 화면을 조금 내리고 여덟 번째 달까지만 구해 볼게요 여덟 번째 달에는 $45000를 지급할 것입니다 선을 좀 더 길게 그려 볼게요 이제 회사 B의 표를 채워 봅시다 회사 B는 급여가 매달 두 배씩 증가합니다 두 번째 달에는 급여가 두 배가 되어서 $1000가 되겠죠 세 번째 달의 급여는 $2000가 되고 네 번째 달의 급여는 $4000가 됩니다 또 두 배를 하면 $16000가 되고 두 배를 하면 $32000가 됩니다 중간에 하나를 빠뜨렸네요 $4000의 두 배는 $8000죠 이를 두 배하면 $16000가 되고 여기에 두 배를 하면 $32000가 됩니다 또 두 배를 해주면 $64000가 되죠 여덟 번째 달까지 갔을 때 재밌는 일이 생기네요 여덟 번째 달이 되기 전까지는 회사 A의 급여가 더 높았습니다 하지만 여덟 번째 달이 되자 회사 B의 급여가 더 높아졌죠 따라서 회사 B의 급여가 처음으로 회사 A의 급여보다 커지는 달은 여덟 번째 달입니다 여기서 좀 더 나아가 봅시다 회사 A의 급여가 증가하는 비율이 일차함수의 증가라는 것을 알 수 있죠? 매달 같은 금액씩 증가했습니다 여기도 $5000씩 늘어났고 여기도 $5000씩 늘어났죠 매달 $5000씩 증가했습니다 회사 B의 급여는 지수함수의 증가를 나타냅니다 같은 배수만큼 증가하죠 항상 같은 값만큼 곱해집니다 여기도 2만큼 곱해지고 여기도 2만큼 곱해집니다 여기도 2가 곱해졌죠 여기서 흥미로운 사실은 이를 지수함수 식으로 일반화해서 지수함수의 증가가 결국 일반함수의 증가를 넘어선다는 것을 나타낼 수 있다는 것이죠 초깃값은 상관 없습니다 또한 지수함수 증가의 비율도 중요하지 않아요 지수함수의 증가는 결국 일차함수의 증가를 넘어설 거예요 이를 그림으로 그려볼 수도 있습니다 먼저 일차함수의 증가 그래프를 그려 봅시다 여기가 x축이고 여기가 y축입니다 일차함수는 직선으로 나타납니다 그러므로 이렇게 그려지겠죠 일차함수는 항상 어떤 기울기를 가진 직선으로 그려집니다 지수함수는 기울기가 훨씬 완만하지만 나중에는 일차함수를 추월합니다 이것은 일차함수의 기울기 또는 시작점이 높거나 지수함수의 시작점이 좀 더 아래에 있는 경우를 나타냅니다 지수함수는 비교적 천천히 증가하지만 결국에는 일차함수보다 커집니다