묶어서 인수분해하기란?

이 비디오에서, 저는 다항식을 인수분해하는 다른 여러 방법들에 초점을 맞추고 싶네요 특히, 최고차항의 계수가 1이 아닌 이차방정식에 말이죠 예를 들어 4x^2 더하기 25x 빼기 21을 인수분해하는 방법 말이에요 우리가 지금까지 인수분해했던 이차방정식이나 다른 모든것들에는 여기 4대신 1이나 -1이 있었습니다 갑자기 여기에 4가 생겼네요 여기서 저는 "그룹화"라고 불리는 인수분해 방법을 가르쳐 드리려고 합니다 전에 배운 것보다는 조금 더 복잡해요 하지만 간단한 방법입니다 사실 여러분이 어느 정도 배운 이후엔 이 방법이 쓸모없어질 거에요 만약 여러분이 근의 공식을 배우게 된다면 말이죠 솔직히 말해서 근의 공식이 훨씬 쉽거든요 어쨌든 시작하도록 하겠습니다 앞서 말씀드린 방법을 가르쳐 드릴게요 그리고 비디오 마지막 쯤에 왜 이게 성립할 수 있는지를 보여드리도록 할게요 a와 b라는 두 숫자를 생각해주세요 그리고 a 곱하기 b가 4 곱하기 -21과 같아야 해요 a 곱하기 b가 4 곱하기 -21과 같으니 -84와 같게 되겠네요 그리고 a 더하기 b는 25가 되어야 합니다 좀 더 명백하게 설명드릴게요 이건 25입니다 따라서 이것들도 25와 같아져야겠지요 여기에 4가 있으니 4가 되고 자, 그럼 4 곱하기 -21을 계산해봅시다 여기도 -21이 됩니다 그럼 이 두 숫자로 무엇을 어떻게 해야할까요? -84의 인수를 구해봅시다 그리고 다시 말하지만 두 수중 하나는 양수가 되어야 합니다 곱의 부호가 음이기 때문에 다른 수는 음수가 되어야겠네요 성립되는 다른 인수들을 생각해봅시다 4와 -21가 적합해보이지만 더하면 -17이 됩니다 -4와 21을 더하면 17이 되고 이것도 성립하지 않네요 다른 조합을 생각해봅시다 1과 84는 차이가 많이 나서 답과는 거리가 머네요 만약 하나가 음수이고 다른 하나가 양수라고 한다고 해도 답과는 거리가 머네요 3은 성립하는지 봅시다 너무 성급했네요 2와 42가 성립하는지 확인해 봅시다 이 수들도 차이가 많이 나네요 -2와 42를 더하면 40이 되겠네요 2더하기 -42는 -40이 되겠네요 역시 답과 거리가 멉니다 3은 8에 2번 들어가고 2 곱하기 3은 6이네요 8 빼기 6은 2입니다 4를 내리세요 정확히 8번 들어가네요 그래서 3과 28이 됩니다 흥미롭군요 이 수들 중 하나는 음수가 되어야 합니다 -3과 28을 더하면 25가 됩니다 두 수를 찾았네요 하지만 이번엔 계수가 1 또는 -1인 이차방정식만큼 쉽지는 않을거에요 이제 여기 있는 이 항을 나눌건데요 28x와 -3x로 나눌거에요 이 두 항이 이 위에 있는 항이고요 이 옆에 -21 이 있고 그 반대편에 4x^2가 있네요 제가 28을 왜 먼저 썼는지 의아해 하실수도 있는데요 이렇게 써놓은 이유가 있습니다 저는 3 또는 -3, 그리고 21 또는 -21이 공통된 약수를 가진다고 생각했습니다 특히, 3을 공약수로 갖죠 그리고 28과 4도 공약수를 갖습니다 그래서 28을 4쪽에 써주었습니다 그러면 제가 두번째로 말한게 뭔지 알 수 있을 겁니다 말 그대로, 이들이 4x^2+28이 되도록 '그룹화'한다면 이쪽, 핑크색 글씨 쪽이요 이 값은 -3x-21이 됩니다 다시, 이번엔 이걸 골라봅니다 -3을 21 또는 -21과 묶습니다 둘다 3으로 나누어 떨어지기 때문입니다 그리고 28을 4로 묶었는데 역시 모두 4로 나누어 떨어지기 때문입니다 그러면, 각각의 그룹에서 우리는 최대한 많은 공약수를 얻을 수 있습니다 따라서 두 항 모두가 4x로 나누어 떨어집니다 그러면 오렌지색 항은 4x 곱하기 x ---즉 4x^2를 x로 나눈 값과 같은--- 에 28x를 4x로 나눈 값을 더한 것--즉 7--과 같습니다 자, 이제 두번째 항을 풀어봅시다 뽑아낼 수 있는 모든 인수를 뽑아내야 한다는걸 기억하세요 두 항 모두 3 또는 -3으로 나눌 수 있습니다 그럼 -3을 공통인수로 묶어줍시다 그러면 x+7이 되네요 그리고 이제 여러분도 뭔가 깨닫게 됩니다 우리가 x에 7배한 4x를 더한 항과 (x+7) 항에 -3을 곱한 값을 얻었습니다 그래서 (x+7)을 공통인수라고 할 수 있습니다 아주 명백하게 와닿지는 않을 수 있어요 우리가 전체 다항식을 공통인수로 묶는 것에 익숙하지 않기 때문에요 그러나 이 결과가 a처럼 된다는 걸 볼 수 있을 겁니다 또는 4xa-3a 라는 식이 있을 때 공통인수로 a를 끄집어 낼 수 있다는 것도요 그리고 이 -부호는 그대로 남겨두겠습니다 이쪽의 연산기호 +를 없애봅시다 그냥 -3이니까요 즉 +(-3) = -3 입니다 그럼 어떻게 하면 될까요? (x+7) 을 4x 배 한 항이 있고 (x+7)을 -3배 한 항도 있습니다 (x+7)이라는 공통인수로 묶어봅시다 결국 (x+7)에 (4x-3)을 곱한 값을 얻게 됩니다 이 3값을 여기서 빼줍니다 그럼 주어진 이항식을 인수분해 하였습니다 아, 아니네요 2차 방정식 각 항의 공통인수를 묶어줌으로써 2개의 이항식으로 인수분해 한 것입니다 다른 예를 한번 풀어봅시다 약간 연관이 있는 내용입니다 6x^2+7x+1이라는 주어진 식을 인수분해 한다면 같은 방식으로 하면 됩니다 1x6 즉 6과 같은 ab값을 찾아야 하는데요 또 a+b값은 7을 만족해야 합니다