정규분포 예제: z-점수 (ck12.org 에서 인용)

CK12.org의 AP FlexBook 두 번째 문제입니다 CK12.org의 AP FlexBook 두 번째 문제입니다 오픈소스 교과서라고 할 수 있죠 통계 문제에 대한 연습을 하기 위해 사용하고 있습니다 자 문제 2번 고등학교 중간고사의 성적 분포는 정규분포이며 평균이 81이고 표준편차가 6.3입니다 표준편차가 6.3입니다 각 시험 점수에 대한 z-값을 계산해 보세요 각 점수에 대하여 그래프를 그리세요 한 그래프에 다 할 수 있겠네요 일단 z-값이 무엇인지 기억해 봅시다 일단 z-값이 무엇인지 기억해 봅시다 z-값이란 무엇일까요? z-값이란 평균으로부터 표준편차의 몇 배나 떨어져 있는지를 나타냅니다 표준편차의 몇 배나 떨어져 있는지를 나타냅니다 표준편차의 몇 배나 떨어져 있는지를 나타냅니다 따라서 각각 이 점수들이 평균으로부터 표준편차 몇 배만큼 떨어져 있는지를 계산하면 그것이 z-값이 될 것입니다 일단 a를 해 봅시다 65가 주어져 있습니다 65가 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 구해 봅시다 모든 예시에 사용할 수 있는 차트를 그려 봅시다 모든 예시에 사용할 수 있는 차트를 그려 봅시다 분포를 그려 보죠 분포를 그려 보죠 평균은 81입니다 평균은 81입니다 이것이 평균입니다 표준편차는 6.3입니다 이 분포는 정규분포라고 하니까 이 분포는 정규분포라고 하니까 여기에 종모양 곡선을 그려줍니다 이는 정규적 분포를 가지니까 이렇게 그려주면 됩니다 이것의 평균은 81이고 표준편차는 6.3입니다 따라서 표준편차 하나 위와 아래는 평균으로부터 6.3만큼 떨어져 있을 것입니다 양의 방향으로 6.3만큼 가면 이 값은 87.3이 될 것입니다 음의 방향으로 6.3만큼 가면 얼마가 나올까요? 74.7 맞나요? 맞네요 6을 더해주면 80.7이 0.3을 더 더해주면 81이 나옵니다 따라서 이것들은 평균으로부터 표준편차 하나만큼 위와 아래에 있습니다 6.3만큼을 더 더해주면 표준편차 두 배 만큼 더 커지고 이런식으로 쭉 갑니다 이것은 분포 자체의 그림입니다 이제 각 경우에 대한 z-값을 구해 봅시다 이제 각 경우에 대한 z-값을 구해 봅시다 65는 얼마나 멀리 있을까요? 65는 이 즈음에 있을 것입니다 그러면 먼저 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지 봅시다 그러면 먼저 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지 봅시다 그 거리는 양수로 나타내면요 이 경우엔 음수가 맞겠네요 z-값은 양수일수도 음수일수도 있기 때문입니다 음수는 평균의 왼쪽에 위치했다는 의미이고 양수는 오른쪽에 위치했다는 의미입니다 따라서 65 - 81입니다 이것은 말 그대로 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다 하지만 이것을 표준편차로 표현해야 합니다 따라서 이 거리를 표준편차의 크기로 나누어주면 따라서 이 거리를 표준편차의 크기로 나누어주면 따라서 65 - 81은 81 - 65는 5 + 11 즉 16입니다 따라서 이 값은 -16/6.3일 것입니다 계산기를 꺼내 계산하면 -16/6.3을 해주면 약 -2.54 정도네요 대략적으로 -2.54입니다 이것이 65점의 z-값입니다 꽤나 직관적이죠 몇 개 더 해봅시다 다 해봅시다 83 평균으로부터 얼마 떨어져 있을까요? 83 - 81 평균으로부터 2점 위에 있습니다 이것을 표준편차로 표현하면 표준편차 몇 배일까요? 이것이 A였습니다 A는 이즈음이었습니다 평균에서 표준편차 2.5배만큼 아래에 있었습니다 이것이 A번이었고 1배, 2배, 그리고 0.5만큼 가면 A, 즉 65는 여기 즈음입니다 B의 83은 이 즈음일 것입니다 평균보다 조금 높은 이쯤입니다 여기서 z-값은 83 - 81/6.3인데 계산기로 계산하면 83 - 81 = 2이므로 2/6.3는 0.32정도 됩니다 이번에는 0.32가 나왔습니다 따라서 83은 표준편차 0.32배만큼 평균보다 위에 있습니다 대략적으로 표준편차의 1/3만큼 위에 있습니다 대략적으로 표준편차의 1/3만큼 위에 있습니다 왜냐하면 이것이 표준편차 1배이고 이것은 표준편차 0.3배 정도 위에 있으니까요 C를 봅시다 C를 봅시다 93 동일한 작업을 반복합시다 93은 평균과 얼마나 떨어져 있을까요? 93 - 81은 12입니다 하지만 이것 또한 표준편차로 표현해야 합니다 12는 표준편차의 몇 배일까요? 거의 2에 가까울 것입니다 계산기를 사용하면 12/6.3는 표준편차 1.9배입니다 z-값은 1.9입니다 표준편차 1.9배만큼 평균보다 큽니다 평균 81에서 표준편차 하나만큼 올라가고 거기서 표준편차 0.9배만큼 더 올라가면 93이 있을 것입니다 그것의 z-값은 1.9입니다 이는 표준편차 1.9배만큼 평균보다 크다는 것을 뜻합니다 이는 표준편차 1.9배만큼 평균보다 크다는 것을 뜻합니다 마지막 것을 해 봅시다 빨간색으로 하겠습니다 D입니다 100점입니다 문제가 이제는 필요하지도 않습니다 100점 뭐 똑같습니다 100이 평균에서 얼만큼 떨어져 있는지 구하고 평균은 81이었습니다 그것을 표준편차의 크기로 나누어줍니다 100 - 81은 19이므로 19/6.3 이는 표준편차 3배보다 약간 더 클 것입니다 다음 문제에서는 이것이 확률과 관련해 어떠한 의미를 가지고 있는지 볼 것입니다 하지만 그저 z-값만 구하는 것이라면 19/6.3이므로 3.01입니다 반올림을 한다면 3.02가 나올 것입니다 3.02에 매우 가깝네요 이것의 z-값은 3.02 그러니까 100점은 표준편차 3.02배만큼 평균과 떨어져 있습니다 기억해보면 여기 평균은 81입니다 만약 표준편차 하나 그리고 표준편차 2배 표준편차 3배만큼 위로 가면 이즈음일 것입니다 그래프에서는 여기이겠죠 100점은 이보다 약간 더 크게 표준편차 3.02배만큼 평균 위에 있을 것입니다 그리고 이 그래프의 높이를 통해 이는 매우 낮은 확률임을 알 수 있습니다 이는 매우 낮은 확률임을 알 수 있습니다 실제로는 그저 저 이상의 값을 가지는 확률만 낮은 것이 아닙니다 실제로는 그저 저 이상의 값을 가지는 확률만 낮은 것이 아닙니다 왜냐하면 앞서 배웠듯이 확률분포함수에서는 만약 이것이 이산분포가 아니라 연속적이었다면 정확히 저 값을 가지는 확률은 0이었겠지만 이것은 시험점수이므로 이산분포입니다 이것은 시험점수이므로 이산분포입니다 하지만 저 점수보다 높을 확률은 종모양 그래프를 통해 알 수 있듯이 작습니다 어쨌든 꽤나 수학적으로 직관적으로 z-값에 대한 충분한 설명이 되었을 것이라 믿으면서 다음 동영상에서는 z-값에 대한 해석과 약간의 확률을 다루어 보겠습니다