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중점, 산포도와 분포의 형태 — 기본 예제

동영상 대본

자다브 씨는 최근 시험에서 학생들의 점수를 10점씩 올려주었습니다 이것이 평균과 중앙값에 미친 영향은 무엇일까요? 이것이 평균과 중앙값에 미친 영향은 무엇일까요? 이를 푸는 방법은 2가지 있습니다 하나는 제한조건들을 만족하는 가능한 점수들의 조합을 통해 문제를 푸는 방식입니다 그 후 이 보기들 중 옳은 것과 틀린 것을 고르면 됩니다 틀린 것을 고르면 됩니다 그것이 하나의 방법이고 실제로 SAT와 같이 시간 압박을 받는 상황에서는 더 간단한 방법일 수도 있습니다 좀 더 엄밀하게 하는 방법도 있습니다 우선 간단한 방법부터 해봅시다 학생들이 20-30명 있는 교실을 생각해봅시다 하지만 20-30명 있다고 명시되어 있지 않으므로 3명의 학생들이 있는 교실을 생각해봅시다 3명일 때에도 아래의 보기들 중 올바른 것은 성립해야 합니다 그럼 간단하게 생각해 봅시다 모든 학생이 80점을 맞았다고 상상합니다 점수는 중간값과 평균을 계산하기 쉬운 값으로 임의로 뽑았습니다 평균은 80입니다 그리고 중간값 또한 80입니다 따라서 중간값과 평균 둘 다 80입니다 따라서 중간값과 평균 둘 다 80입니다 여기서 모든 값들에 10을 더해주면 10을 다 더해준다면 90, 90, 90이 됩니다 그러면 중간값과 평균 둘 다 90이 됩니다 중간값은 평균과 같을 것이고 평균이 90이므로 90일 것입니다 비록 문제에서 요구한 일반적인 상황은 아니지만 이 경우 모든 사람의 점수를 10점씩 더해준다면 평균과 중간값 또한 10씩 증가합니다 이제 보기를 봅시다 평균은 10 증가하였지만 하지만 중간값은 그대로입니다 방금 했던 예시가 자다브씨 학생들의 방금 했던 예시가 자다브씨 학생들의 점수일 수도 있었지만 이 보기는 그 예시와 상반됩니다 예시에서 중간값은 변하였습니다 예시에서 중간값은 변하였습니다 따라서 이 보기는 정답이 아닙니다 중간값은 10 증가하였지만 평균은 그대로입니다 다시 한번 말하지만 예시의 결과와 모순되면 안되는데 보기는 예시와 모순입니다 따라서 이 보기 또한 모든 가능한 학생들의 점수 분포를 만족시키지 못하므로 틀렸습니다 평균은 10점 증가하였고 중간값 또한 10점 증가하였습니다 이 경우 특수한 상황에는 들어맞지만 이 경우 특수한 상황에는 들어맞지만 항상 옳다는 것을 증명해주지는 못합니다 하지만 최소한 모순되지는 않습니다 틀렸다고 할 수는 없습니다 중간값과 평균이 일정합니다 하지만 이는 언급한 예시와는 상반된 결과를 보여주고 있습니다 상반된 결과를 보여주고 있습니다 이 보기를 정답으로 선택할 수 있기 위해서는 어떤 점수의 조합을 가지고 와도 만족해야 합니다 따라서 이 또한 답이 아닙니다 만약 시간 압박을 받고 있다면 SAT 시험 중이라면 이 보기를 고르고 넘어갈 것입니다 하지만 여러분들이 모든 경우에 대해 평균과 중간값이 각각 10씩 증가한다는 것을 증명할 수 있는 엄밀한 방법을 원한다는 것을 알고 있습니다 그렇기에 여기에 간단한 증명을 해봅시다 점수 S₁부터 시작하여 중간값 Sm이 있고 이렇게 쭉 가다가 Sn이 n번째 점수라고 합시다 Sn이 n번째 점수라고 합시다 이 모든 점수에 10을 더해주면 이 모든 점수에 10을 더해주면 n개의 점수들이 각각 10씩 증가할 것입니다 따라서 S₁+10이 되고 S₂+10이 됩니다 중간값 또한 10만큼 커집니다 하지만 이 값은 그대로 중간값입니다 가장 큰 값도 그대로입니다 점수들을 오름차순으로 정렬했다고 가정합니다 그러면 이 값은 Sn+10일 것입니다 따라서 모든 값들이 10씩 증가한다면 중간값이 무엇이든간에 그 값에 10을 더한 숫자가 그대로 중간값일 것입니다 따라서 중간값은 10만큼 증가할 것입니다 따라서 이를 통해 어떤 점수의 조합이어도 이런 식으로 정렬한 후 중간값을 결정하면 모든 값에 10을 더했을때 중간값 또한 10이 증가할 것입니다 그러면 평균은 어떻게 계산할까요? 그럼 이제 평균은 어떻게 계산할까요? 평균은 첫 번째 값 두 번째 값 이렇게 n번째 값까지 더해주고 그 값을 n으로 나눈 값입니다 이것이 평균입니다 여기서 각 값에 10을 더한다면 S₁+10 S₂+10 이런 식으로 Sn+10이 되고 n으로 나누면 얼마일까요? 얼마일까요? 이 모든 10들을 밖으로 빼면 10을 n번 더한 것이므로 이 값을 다시 써보면 S₁ + S₂ + .. + Sn 그리고 + 10n 입니다 그리고 + 10n 입니다 이제 전체를 n으로 나눠보겠습니다 이제 전체를 n으로 나눌 것입니다 10을 n번 적는 대신 10n으로 표기하였습니다 10n으로 표기하였습니다 그리고 이 식은 대신 이렇게 적을 수 있습니다 이 부분 나누기 n과 이 부분 나누기 n의 합 이 부분은 얼마일까요? 이것은 바로 기존 평균입니다 그리고 10n ÷ n은 결국 10입니다 따라서 새로운 평균은 기존 평균에 10을 더한 것입니다 다른 보기와 모순된 특수한 경우를 선정해서 한 것이 아닌 어떤 점수 조합이든 상관없이 일반적인 경우에 대한 참이라고 생각합니다 일반적인 경우에 대한 참이라고 생각합니다 따라서 이 보기가 정답입니다