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이차방정식 풀기 — 심화 예제

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위의 방정식에 대한 해를 모두 고르세요 (x+3)(x-5)이 5와 동일할 때 신중하게 풀어야 합니다 대수를 풀다보면 이것도 5와 같고 이것도 5와 같다고 생각할 수 있어요 하지만 그렇지 않습니다 논리적으로 말이 되지 않습니다 인수분해를 잘 하기 위해서는 이 두 괄호가 모두 0과 같다고 말할 줄 알아야 합니다 두 괄호가 0과 같으면 하나 또는 모든 괄호가 0과 같아야 함을 인지하기 때문이죠 아래와 같은 답을 구하기 위해서는 많은 대수학의 계산이 필요합니다 우선 x+3 곱하기 x-5를 곱합니다 어떻게 될까요? x 곱하기 x는 x의 제곱이 되고 x-5를 더하면 됩니다 -5x가 되겠네요 3에 x를 곱한 값을 더하면 3x가 됩니다 3에 -5를 곱한 값을 더하면 -15가 되고 이 모든 식이 5와 같아야 합니다 무엇을 할 수 있는지 봅시다 이건 x의 제곱이 되고 이 둘은 더할 수 있겠네요 -5x+3x는 -2x가 되고 x의 제곱 -2x -15는 5가 됩니다 양변에서 5를 빼봅시다 5씩 빼겠습니다 거의 다 왔습니다 x제곱 -2x -20은 0과 동일합니다 만반의 준비를 갖췄습니다 이차형식에서 x의 값을 발견하여 이 식이 0과 동일해지도록 만들어야 합니다 첫 시도로 자연스럽게 인수분해 할 수 없을까요? 20의 인수가 있는지 봅시다 20의 인수가 있는지 봅시다 양수일 수도 있고 음수일 수도 있습니다 결과적으로 음수이니까요 둘을 더하면 -2가 계산되기도 하고요 자 봅시다 아무것도 안 나오네요 4, 5, 2 그리고 10이 있군요 아무것도 안 나오네요 근의 공식을 시도해볼 수도 있습니다 근의 공식이 x제곱 + bx + c = 0라면 근의 공식의 해는 제가 지금 보라색으로 적고 있는 식과 같을 사용해서 계산할 수 있습니다 여러분께 공식을 외우라고 권하는 편은 아닙니다 그렇지만 근의 공식을 외워서 나쁠 건 없습니다 외우기 전에 근의 공식을 자연스럽게 완성하고 증명하는 칸아카데미 동영상을 시청하길 바랍니다 그래야 이해할 수 있습니다 근의 공식을 알아두면 좋습니다 지금과 같은 문맥에서 적용할 수 있으니까요 이 계수가 여기도 있습니다 따라서 a는 1이고 b는 -2입니다 b는 -2입니다 여기 이 계수를 보시면 c는 -20입니다 c는 -20입니다 따라서 근은 x=-b가 됩니다 -2의 음수는 양수 2가 됩니다 4+4x1x20의 제곱근을 4+4x1x20의 제곱근을 4+4x1x20의 제곱근을 더하거나 뺍니다 더하거나 뺍니다 이 모든 식은 a의 분모입니다 a의 값은 하나이고 a는 2입니다 제곱근 안의 숫자들을 계산하면 84가 됩니다 이쯤 되니 보기를 보면 어떤 게 답이 될지 감이 오시죠? 이쯤 되니 보기를 보면 어떤 게 답이 될지 감이 오시죠? 시간이 촉박한 것이 아니라면 정답을 정확하게 찾아가 봅시다 시간이 촉박한 것이 아니라면 정답을 정확하게 찾아가 봅시다 더 간단히 할 수 있나요? 84의 제곱근을 4로 나눌 수 있습니다 84의 제곱근을 4로 나눌 수 있습니다 84의 제곱근을 4로 나눌 수 있습니다 84는 4x21과 동일합니다 이 식이 2의 분자이고요 이 식은 조금 밑으로 내려서 적어보겠습니다 조금 밑으로 내려서 적어보겠습니다 2에 +2 또는 -2에 21의 제곱근을 곱한 값이 분자가 되고요 2는 분모가 됩니다 2로 나눌 수 있으니 2로 나누면 이렇게 되겠네요 마지막 보기와 동일합니다 꽤 유순한 문제처럼 보였지만 곱하고 식을 만들고 이차방정식의 근의 공식을 적용하면서 꽤 까다롭게 답을 구했어요