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이차방정식과 지수함수의 식 조작하기 — 심화 예제

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다이나는 길이가 200피트인 울라티를 사서 그녀의 애완견의 놀이구역을 직사각형 모양으로 만들려고 합니다 가능한 면적 A에 대한 방정식이 아래에 나와 있습니다 여기서 w는 구역의 너비입니다 w에 대한 함수로 나타낸 면적을 구하는 것이죠 w에 대한 함수로 나타낸 면적을 구하는 것이죠 다음 중 위 식과 같은 보기의 너비에 대한 식 중에서 면적이 최대가 될 때의 식은 무엇일까요? 흥미로운 문제네요 보기의 모든 식은 위 식과 동일하다고 하였습니다 동일한 식인지 확인해볼 수 있습니다 예를 들어, 첫 번째 보기는 예를 들어, 첫 번째 보기는 이렇게 나타낼 수 있죠 -(w² - 100w + 2500) + 2500 -(w² - 100w + 2500) + 2500 -(w² - 100w + 2500) + 2500 -(w² - 100w + 2500) + 2500 -(w² - 100w + 2500) + 2500 정리하면 -w² +100w - 2500 + 2500 -w² +100w - 2500 + 2500 -w² +100w - 2500 + 2500 -w² +100w - 2500 + 2500 이 둘은 사라지고 이 식처럼 남습니다 -w² + 100w -w² + 100w 여기 모든 보기는 이 식과 같습니다 대수적으로 조작한 것이죠 대수적으로 조작한 것이죠 문제에서 물어보는 것은 문제에서 물어보는 것은 최댓값을 나타내는 식을 고르는 것입니다 최대값이 무엇인지 찾기 쉽게 해주는 식은 다음 중 무엇일까요? 첫 번째 보기를 봅시다 이 식을 한번 살펴봅시다 이 식을 한번 살펴봅시다 (w - 50)² 이 부분은 음수가 될 수 없습니다 어떤 값에 제곱을 취하면 음수가 되지 않기 때문이죠 하지만 그 값에 (-) 부호를 붙인다면 양수가 될 수 없겠죠 양수가 될 수 없겠죠 따라서 이 부분은 0보다 작거나 같습니다 여기에 2500을 더합니다 이 값이 최대가 되려면 여기서 이 식은 위 식과 동일하면서 최댓값을 구하게끔 변형한 것입니다 이 값이 음수가 되면 안됩니다 따라서 이 부분은 0이 됩니다 이 값이 0이 되려면 어떻게 해야하죠? 제곱한 값이 0인 것은 어떤 값을 제곱하여 0이 된다면 w - 50 = 0 이 되어야 합니다 w - 50 = 0 이 되어야 합니다 즉, w = 50이죠 이 식을 보면 풀 수 있습니다 다른 식은 위 식과 동일하기 때문이죠 동일하기 때문이죠 이 식을 보세요 풀 수 있겠죠 w = 50이 될 때 이 식의 최댓값이 나옵니다 다음 중 위 식과 같은 보기의 너비에 대한 식 중에서 보기의 너비에 대한 식 중에서 면적이 최대가 될 때의 식은 무엇일까요? 면적이 최대가 되도록 하는 너비는 50입니다 이 보기가 맞는 것 같네요 이런 문제는 본적이 없지만 값이 주어졌으므로 이 식의 형태는 가치가 있다고 할 수 있습니다 이 부분의 값을 2500에서 빼서 작아지지 않게 한다면 면적이 최댓값이 됩니다 면적이 최댓값이 됩니다 사실, 2500은 최댓값입니다 언제 최댓값이 되죠? 이 부분이 0일 때 즉, w - 50 = 0일 때 혹은 w = 50일 때 입니다 이 보기가 정답입니다 이 식들은 변형된 식입니다 이 식들은 변형된 식입니다 이 식과 동일하죠 하지만 적절하지 않습니다 이런 식으로 만들면 언제 최댓값인지 알 수 없습니다 이 이차방정식은 y = a(x - h)² + k 꼴입니다 꼭지점을 구하기 쉽습니다 그 때, 식 또는 함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있죠 너비가 50이 되게 만드는 다른 방법도 있습니다 이 식은 2차식입니다 이 식은 2차식입니다 이차항의 계수는 음수죠 이차항의 계수는 음수죠 따라서 위로 볼록한 함수가 됩니다 이런 식이겠죠 이 축이 면적에 대한 축이고 이 축이 면적에 대한 축이고 이 축이 너비에 대한 축이라면 이 축이 너비에 대한 축이라면 위로 볼록이 됩니다 이 계수가 음수이기 때문이죠 위로 볼록입니다 이런 모양이겠죠 꼭지점 혹은 w의 값을 꼭지점의 w 좌표를 찾아야 합니다 이것을 구할 수 있는 여러 가지 방법이 있죠 우선, 이 좌표는 함수의 값이 0이 되게끔 하는 두 w 값의 중간값입니다 이 함수의 값이 0이 되게끔 하는 w는 무엇일까요? 100w - w² = 0 100w - w² = 0 w로 묶으면 w(100 - w) = 0 이 됩니다 이 값이 0이 되려면 w = 0 이거나 100 - w = 0 이겠죠 즉, w = 100 입니다 즉, w = 100 입니다 w = 100이라면 이 값이 0이 되고 전체 면적은 0이 됩니다 따라서 이 값은 100이고 이 값은 0입니다 따라서 최댓값, 즉 꼭지점은 0과 100의 중간값인 50이 됩니다 다른 방법으로 구할 수도 있습니다 꼭지점의 x좌표에 대한 공식을 이용하면 w = -b/2a 입니다 aw² + bw + c 라는 식에서 aw² + bw + c 라는 식에서 aw² + bw + c 라는 식에서 이 식을 A라고 하면 이 식을 A라고 하면 꼭지점의 w 좌표는 꼭지점의 w 좌표는 -b/2a 입니다 이 경우 b = 100이고 -100 -100 a = -1 입니다 w²의 계수죠 이차항의 계수입니다 이 식은 일차항 다음에 이차항이 나와 있네요 여기 이차항과 일차항이 있죠 a = -1에 2를 곱하면 -2 입니다 음수를 음수로 나누면 양수가 되죠 100/2 = 50입니다 다시 한번 살펴봅시다 최댓값이 될 때 w = 50 입니다 보기의 식들을 살펴봅시다 상수 혹은 계수로써 50을 포함하는 식은 무엇인가요? 여기 50이 있네요 질문이 조금 요상하지만 어쨌든 50이 여기 있습니다 50을 빼고 있지만 어쨌든 나와 있습니다 다른 보기에는 50이 없습니다