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이차방정식과 지수함수 문장제 문제 — 심화 예제

동영상 대본

지역 신문사에서는 한 달 구독료로 9.30달러를 받고 있으며 2400명의 구독자를 보유하고 있습니다 시행한 설문 조사에 따르면 월 구독료가 10센트씩 증가할때마다 20명의 구독자를 잃을 것으로 예상됩니다 신문사가 구독료를 통해 수입을 극대화하기 위해서는 신문사가 구독료를 통해 수입을 극대화하기 위해서는 월 구독료를 얼마로 매기는 것이 좋을까요? 월 구독료를 얼마로 매기는 것이 좋을까요? 수입에 대해서 생각해 봅시다 신문사의 수익을 말하죠 얼마나 많은 돈을 벌어들이는지입니다 얼마나 많은 돈을 벌어들이는지입니다 수입을 i라고 표시하겠습니다 s는 구독자를 뜻하며 i는 구독자의 수에 구독자 한 명이 지불하는 값을 곱한 값과 같습니다 이 식이 수입이 됩니다 지문은 구독자가 가격 함수가 된다고 말하며 맞는 말입니다 가격이 올라가면 구독자의 수는 떨어집니다 지문에서도 이야기해주죠 설문 조사에 따르면 월 구독료가 10센트 씩 오를 때마다 20명의 구독자를 잃습니다 현재 월 구독료 9.30달러 입니다 구독자의 수를 가격 함수로써 작성할 수 있는지 봅시다 현재 가격에서는 2400명의 구독자를 보유하고 있습니다 그러나 20명을 잃을 예정이죠 9달러 30센트를 넘어선 동전 한닢마다 20명의 구독자를 제외하겠습니다 곱해 봅시다 p-9.30달러는 가격 인상을 초래하겠네요 9.30달러에서 얼마를 초과했는지 알고 싶다면 10센트로 나눠보면 됩니다 이 식에서 p는 현재 가격에서 얼마나 초과했는지를 말해주고 인상할때마다 20명의 구독자를 잃게 됩니다 이 부분이 이 문제에서 가장 흥미로운 부분일 겁니다 가장 중요한 부분이기도 하고요 가격 함수로써 구독자를 어떻게 설정하시겠어요? 한 번 설정하기만 하면 대치할 수 있으며 수입을 순수한 가격 함수로써 계산할 수 있습니다 제가 무슨 말을 하느냐면 이 식을 계산하기전에 우선 더 간소화 해볼게요 구독자는 2400-20(p-9.30/0.10)과 같습니다 2400-200(p-9.30)과 같습니다 구독자는 2400에서 200p를 빼고 2에서 9.30달러를 곱하면 18.60달러가 되고 1800달러가 되지만 18.60달러 대신 1860달러가 됩니다 1860은 -200에 -9.3을 곱한 값입니다 이제 더해보겠습니다 더하면 구독자는 2400+1860의 값과 같습니다 1000을 더하면 3400이 나옵니다 860을 더하면 240과 260이 나오고 4260-200p가 계산됩니다 구독자의 수가 가격 함수로써 간단해졌네요 기존 방적식에 있던 s를 이 식에서 뺄 수 있습니다 그렇게 되면 수입은 4260-200p라고 적은 후에 p를 곱한 값과 같아집니다 이제 이 p를 나눌 수 있습니다 수입은 가격 함수로써 4260-200p의 제곱이 됩니다 수입을 가격 함수로써 이차식이 됩니다 가장 높은 계수를 먼저 쓰는 걸 좋아하기 때문에 위치를 바꾸겠습니다 -200p의 제곱 + 4260p는 이차식입니다 하향 이차식입니다 두번째 차수의 계수가 음수이기 때문입니다 이 그래프는 p함수로써의 i를 보여줍니다 이 축이 i축이고요 이 축이 p축입니다 이 축이 p축입니다 이 축이 p축입니다 하향 포물선임을 알 수 있습니다 최대점을 찾기에 아주 좋습니다 하향 포물선에는 최대점이 있습니다 상향 포물선이었다면 최소점을 찾을 수 있었을 겁니다 위쪽으로 튀어나오지 않을 겁니다 위쪽으로 튀어나오지 않을 겁니다 따라서 얼마가 이 최소점을 갖는지 찾아야 합니다 이 가격은 꼭짓점이 되고요 포물선 꼭짓점의 p좌표가 됩니다 포물선 꼭짓점의 p좌표가 됩니다 포물선의 꼭짓점을 어떻게 찾으면 될까요? 다양한 방법이 있습니다 근을 찾는 방법이 있고요 함수가 0인 x값을 찾는 방법도 있습니다 이 점들의 중간에 꼭지점이 있을 겁니다 이 점들의 중간에 꼭지점이 있을 겁니다 이 방법도 있습니다 i가 ap의 제곱 + bp + c와 같다는 식을 보는 방법도 있습니다 y나 x를 사용하는 대신 i와 p를 사용하는 겁니다 꼭짓점은 음수의 계수가 됩니다 -b/2xa의 계수가 됩니다 -b/2xa의 계수가 됩니다 꼭짓점의 p 좌표가 되는 겁니다 이때 최소점 또는 최대점을 발견할 수 있습니다 이 경우에는 최대점이 되겠지요 -b는 무엇인가요? b는 바로 여기 있습니다 -b는 4260입니다 -b/2가 되고 따라서 2x-200이 됩니다 즉 -400이 되겠네요 그 다음은 어떻게 될까요? 음수에 음수를 곱하면 양수가 됩니다 426을 40으로 나누는 것과 같습니다 더 간소화 할 수 있나요? 봅시다 426/40은 10과 26/40이 됩니다 10과 26/40이 됩니다 더 간소화하면 10과 13/20이 됩니다 지문은 가격을 이야기하고 있으니 달러로 환산하자면 1/100로 써야 할겁니다 이건 10과 같아야 하고요 분모를 5로 곱할 수 있는지 봅시다 분자를 5로 곱합니다 10과 65/100은 10.65달러와 같습니다 보기에서도 찾을 수 있네요 수입이 0이 되는 p값을 찾는 것도 수입이 0이 되는 p값을 찾는 것도 방법이 될 수 있습니다 그럼 그 중간 지점이 우리가 구하는 최대점이 되는 겁니다 두 근의 중간 지점이 우리가 구하는 최대점입니다 이것도 하나의 방법이 되겠네요 언제 0과 동일해지는지를 기존 식을 통해 알아보는 방법도 있습니다 언제 4260p-200p제곱이 0과 동일해지는지 보면 됩니다 상수항이 없으니 p를 인수분해하면 됩니다 p(4260-p)=0라고 할 수도 있습니다 p가 0과 같거나 만약 추가적으로 돈을 매기지 않으면 수입이 0원인 상황이 될 수 있습니다 4260-200p가 0과 같다면 4260-200p가 0과 같다면 p과 0과 같거나 420-200p가 0과 같은 상황입니다 420-200p가 0과 같은 상황입니다 추가적으로 값을 매기지 않았을 때 말입니다 그러면 수입이 없겠죠 구독료를 너무 많이 받아 모든 구독자를 잃게 되고 수입이 없어지는 상황입니다 양변에 200p를 더하면 200p=4260이 됩니다 양변을 200으로 나누면 p=4260/200이 됩니다 바로 모든 구독자를 잃는 가격입니다 바로 모든 구독자를 잃는 가격입니다 최대점은 이 두 꼭지점의 중간이 되고 0과 이 지점의 중간 0과 이 지점의 중간이 됩니다 0과 4260/200의 중간은 이 중간이 됩니다 따라서 최대점은 4260/400이 되고 저희가 전에 구했던 값입니다 10.65달러이죠