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입자 시뮬레이션의 마지막 단계는 입자의 운동을 시간에 앞서 추적하는 방법을 찾아내는 것입니다 이것이 우리의 컴퓨터 프로그램이 애니메이션화하는 방식이죠 한 번에 한 프레임씩이요 전에 말했듯이 여러분이 각 입자의 운동 공식을 알고 있다면 그를 이용해 속도와 위치를 계산할 수 있습니다 하지만 정확히 어떻게 계산해야 할까요? 이 질문을 답하기 위해 속도 개념으로 다시 돌아가 위치 대 시간 그래프의 기울기를 통해 이해해 보죠 두 개의 시간값인 t1과 t2를 서로 가깝게 위치시키고 p1을 t1에서의 위치로 정의하고 p2를 t2에서의 위치로 정의해 봐요 선 l의 기울기는 여기 보이는 것처럼 t1에서의 속도 v1의 정확한 근사치입니다 t2가 t1에 가까워질수록 이 근사치는 더욱 정확해집니다 이것을 공식으로 나타내면 I의 기울기, 즉 속도 v1은 위치의 변화값을 시간의 변화값으로 나눈 값과 동일합니다 만약 t1에서의 위치와 속도를 알고 있다면 t2에서의 위치를 계산할 수 있습니다 p2를 구하는 공식을 재배치함으로써 말이죠 좋아요, 그래서 t1에서의 입자와 위치와 속도를 알면 t2에서의 입자의 위치를 이 공식을 이용해 구할 수 있겠네요 하지만 t2에서의 속도는 어떻게 구할까요? 운동 공식을 알고 있다면 t2에서의 가속도를 계산할 수 있습니다 예를 들어 입자에 작용하는 힘이 중력뿐이라면 가속도는 바뀌지 않고 이는 중력가속도 g와 동일합니다 또한 가속도가 속도 대 시간 곡선의 기울기라는 것을 알고 있고 이는 중력이 속도 변화량을 시간 변화량으로 나눈 값이라는 의미입니다 이것을 통해 v2를 구할 수 있습니다 이제 p2와 v2를 알고 있고 같은 방식을 반복해 p3과 v3을 계산하고 계속 그렇게 계산하면 되죠 예시를 하나 들어보죠 시뮬레이션 맨 처음에 시간값 t를 0으로 설정한다면 입자는 위치 p1에서 속도 v1을 가지게 됩니다 중력 벡터인 g는 아래를 향해 있을 겁니다 입자가 시간값이 0.5일때 어디에 위치할지를 알아내려면 p2 = v1(t2 - t1)이고 거기에서 p1을 더함으로써 알 수 있습니다 여기서 t1은 0이고 t2는 0.5입니다 즉, p2 = 0.5v1 + p1입니다 이는 p2가 v1의 꼬리와 머리 중간 지점에 있다는 의미입니다 v2를 구하기 위해 t2에서 t1을 뺀 값에 v1을 곱하고 v1을 더하면 됩니다 g는 여기서 아래를 향하는 중력 벡터이고 지구에서 이는 9.8미터/초제곱의 값을 가집니다 t2 - t1은 0.5이므로 v2는 0.5g + v1입니다 좋아요, 이제 우리는 t가 1일 때의 위치와 속도도 같은 식을 이용해 구할 수 있습니다 손으로 일일히 하기에 다소 번거롭지만 컴퓨터 프로그램을 이용해 계산한다면 훨씬 더 간단합니다 이와 같이 말이죠 축하드려요 이제 우리는 탁구공 시뮬레이션을 위해 필요한 모든 것을 가지고 있습니다 최종 활동에서 여러분은 이러한 개념들에 대한 스스로의 이해도를 테스트하고 스스로 멋진 입자 시뮬레이션을 만들어 볼 수 있을 겁니다