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사인곡선 그래프 변환하기: 세로 방향으로 늘리기 & 가로 방향으로 대칭이동하기

동영상 대본

저희는 y=2sin(-x)를 폐구간 [-2π, 2π]에 대하여 그릴 것입니다 그릴 것입니다 이를 위해 결국 첫 번째로 y=sin(x)를 그릴 것입니다 그 다음 수식에 붙는 계수 2가 어떻게 그래프 모양을 바꾸는지 알아보겠습니다 그리고 음의 부호가 어떤 영향을 미치는지 알아볼 것입니다 먼저 sinx가 어떻게 생겼는지 알아볼 것입니다 x축을 그리고 y축을 그릴 것입니다 y축을 그릴 것입니다 그리고 폐구간 -2π에서 2π 까지에 대하여 생각해볼 것입니다 이 점을 -2π 라고 합시다 그럼 이 부분은 π 가 될 것입니다 이 점은 당연히 0이 될것입니다 이 점은 π 일 것이고 또다시 여기는 2π일 것입니다 그럼 여기가 1이 될 것이고 여기는 2 여기는 -1 여기는-2가 될것입니다 이 그래프는 나중에 다시 쓰기 위해서 이 그래프는 나중에 다시 쓰기 위해서 복사를 해놓겠습니다 그래서 sin(x)에 대하여 생각해봅시다 x가 0일 때 sin값은 어떻게 되나요? x가 0일 때 sin값은 어떻게 되나요? x가 0일 때 sin값은 어떻게 되나요? 단위원을 그려서 조금 더 쉽게 생각해보겠습니다 저는 보통 머리속에서 삼각함수 값들을 생각합니다 x축을 그리고 y축을 그리고 단위원을 그릴 것입니다 여기에서의 x축은 각을 의미하는 것을 생각하기 바랍니다 저의 단위원의 반지름은 1이고 여기서의 각은 0입니다 결국 sin 값은 이 그래프에서의 y좌표가 될것입니다 그러므로 sin(0)은 0입니다 sin값이 증가할때 최대값은 sin(π/2)일 때로 1입니다 최대값은 sin(π/2)일 때로 1입니다 그리고 x값이 더 증가하여 sin(π)가 되면 0이 될 것입니다 sin(3π/2)는 -1이 될것입니다 그리고 sin(2π)는 다시 0이 될것입니다 그래서 이를 그래프로 만들려고 하면 0에서 2π사이에서 이렇게 그려질 것입니다 또한 음의 방향으로도 그래프를 그리기 위해서 그리기 위해서 sin(-π/2)값 즉 -1를 구합니다 그리고 -π로 돌아가면 다시 0으로 돌아갈것입니다 -3π/2은 이렇게 3/4바퀴를 도는 것이므로 결국 sin값이 1로 돌아가게 될것입니다 그러므로 sin 값은 1과같습니다 다시 2π로 돌아가면 sin값은 다시0으로 돌아가게 됩니다 그래서 이 그래프는 이런 모양을 하고 있을 것입니다 음의 범위에서는 즉 0에서 -2π까지는 다른 주기들과도 항상 같으며 sin(x)함수의 주기입니다 여기서 보는 그래프는 계수가 1입니다 그러므로 주기가 2π일 것입니다 그래프에서 2π인것을 확인할 수 있습니다 그래프에서 2π인것을 확인할 수 있습니다 가장 작은 단위의 주기를 완성하기위해서 2π만큼의 길이가 필요했습니다 그럼 여기서 진폭은 얼마이겠습니까? 여기서 sin값들은 1에서 -1 사이에서 변동하는데 최대값과 최솟값의 차이는 2이므로 그의 반인 1이 이 그래프의 진폭입니다 또 다르게 생각하는 방법은 중앙으로부터 1이 차이가 나기 때문에 진폭은 당연하게도 1이 될것 입니다 여기서 조금 문제를 바꾸어 보겠습니다 이번에는 y=2sin(x)를 그렵보겠습니다 다시 x축 y축을 그려보도록 하겠습니다 아까 복사해놨던 것을 사용할 것입니다 이번에는 y=2sin(x)를 그릴 것입니다 이번에는 y=2sin(x)를 그릴 것입니다 앞선 문제와 다르게 무엇이 다르게 변하겠습니까? 앞의 함수에 2를 곱한것 밖에 없으므로 앞의 그래프에서 어떤 값이 나왔든 그 값의 배를 할 것입니다 2곱하기 0은 0입니다 2곱하기 1은 2입니다 2곱하기 1은 2입니다 2곱하기 0은 0입니다 2곱하기 1은 2입니다 이것은 π/2일 때의 sin 값입니다 2곱하기 0은 0이고 2곱하기-1은 -2이고 2곱하기 0은 다시 0입니다 그러므로 이번 그래픈느 0과 2π 사이에서 이런 모양으로 그려질 것입니다 그리고 다시 음의 방향으로 나아가게 되면 2곱하기 -1은 -2이고 2곱하기 0은 0이고 2곱하기 1은 2이고 다시 2곱하기 0은 0입니다 그래서 음의 부분에서는 이런 모양으로 그래프가 그려질 것입니다 최대한 부드러운 곡선을 그려보도록 하겠습니다 완벽하지는 않더라도 무슨 뜻인지 다 알아들었을 것인지 믿겠습니다 그래프가 완성되면 이러한 모양을 하고 있을 것입니다 방금 어떤일이 벌어졌죠? 최대값과 최솟값의 차이가 2만큼 증가하였습니다 그래서 최대값과 최솟값의 차이는 4의 절반인 2일 것입니다 여기에서의 진폭은 얼마이겠습니까? 여기에서 진폭은 2일 것입니다 그래프에서 보면 2인 것을 확인할 수 있습니다 너무나도 상식적인것인데요 앞에서는 진폭이 1이였는데 여기서는 2로 진폭이 증가한 것을 알 수 있습니다 이는 2를 곱했기 때문입니다 다시 sin(x)로 돌아가보겠습니다 그리고 다시 문제를 조금 다르게 바꾸어 보겠습니다 이번에는 sin(-x)를 그리겠습니다 또 아까 복사해놨던 그래프를 그리겠습니다 이번에는sin(-x)의 그래프를 그리도록 하겠습니다 그러므로 이번에는 앞선 문제의 계수 2는 생각하지 않도록 하겠습니다 sin(x)에서 바로 sin(-x)에 대하여 생각해보도록 하겠습니다 이번 그래프에서의 y값들이 어떻게 바뀔 것인지 생각해 봅시다 x가 0일 때 앞선 그래프와 동일할 것입니다 x가 증가할 때는 어떻게 되겠습니까? sin함수에 대입하는 각도를 음으로 바꾸어야 할 것입니다 그러므로 x는 π/2일 때 사실은 sin(- π/2)를 생각해야하는 것입니다 그러므로 아까의 그래프를 참고하면 sin(- π/2)는 -1인 것을 알 수 있습니다 그러므로 아까의 그래프를 참고하면 sin(- π/2)는 -1인 것을 알 수 있습니다 그리고 x=π 일때는 sin(-π)를 생각해봐야 할것입니다 x가 3π/2일 때는 sin(-3π/2)를 생각해야 할것입니다 이는 결과적으로 1일 것입니다 또 x가 2π일 때를 생각하면 sin(-2π)를 생각해야하므로 이는 결과적으로 0일 것입니다 0에서 2π사이를 그래프로 그리려고 할때 어떻게 되는지 한 번 보세요 그 좌표들의 음수값들을 계속 참고하였습니다 그러므로 이 그래프의 음수 부분을 그러므로 이 그래프의 음수 부분을 y축을 대칭으로 뒤집어서 오른쪽에 그리면 그래프가 완성될 것입니다 -x가 결국 이러한 효과를 가져오는 것입니다 그리고 똑같은 논리를 이용하여서 x=-π/2일 때는 앞의 음의 부호 때문에 sin(π/2)와 동일할 겻이고 결과적으로 1일 것입니다 그러므로 앞의 그래프를 y축을 기준으로 대칭하면 이 그래프를 그릴 수 있게 됩니다 결과적으로 여기서 저희가 한것은 그래프를 y축을 대칭시킨것입니다 sin(x)그래프를 y축에 대하여 반사시킨것입니다 sin(x)그래프를 y축에 대하여 반사시킨것입니다 이것이 y축이므로 여기서 -x가 어떤 영향을 미쳤는지 아시겠죠? 이제 마지막으로 이 두 가지 효과를 다 생각해보겠습니다 2의계수와 -x를 둘다 갖는 것입니다 마지막으로 그래프를 한번더 그리겠습니다 처음의 문제를 해결해보도록 하겠습니다 새로운 색깔로 하겠습니다 파란색으로 하겠습니다 y=2sin(-x)에 대하여 그래프를 그려보도록 하겠습니다 앞에서 했던 것을 바탕으로 첫 번째그래프를 어떻게 변화시킬 것인지 예상해보길 바랍니다 기본적인 sin(x)함수에서 y=2sin(-x)함수로 변환시킬 때 두 가지의 방법으로 생각해볼 수 있겠습니다 2sin(x)즉 sin(x)에 2를 곱한것과 2sin(x)즉 sin(x)에 2를 곱한것과 이를 음의 방향에 있는 것과 대칭시키면 되는 것입니다 이를 실행하면 무엇을 뒤집을 것인지 조금 더 확실하게 말하자면 0에서 -2π사이에 있는 그래프를 뒤집을 것입니다 그 자리에 있던 그래프를 y축을 대칭으로 뒤집을 것입니다 그렇게 되면 그러면 먼저 음의 방향으로 그래프가 갈 것이고 다시 0으로 올라와서 양의 방향으로 올라올 것입니다 결과적으로는 이러한 그래프가 만들어질 것입니다 여기서 2sin(x)를 2sin(-x)로 뒤집은 것만 했을 뿐입니다 여기서 2sin(x)를 2sin(-x)로 뒤집은 것만 했을 뿐입니다 0에서 -2π는 당연히 0에서 2π사이에 있던 그래프가 대체 할 것입니다 0에서 -2π는 당연히 0에서 2π사이에 있던 그래프가 대체 할 것입니다 결과적으로 위로 올라갔다가 내려갔다가 다시 올라갔다가 내려올것입니다 조금 더 그래프의 완성도를 높이자면 조금 더 예쁘게 그리자면 그래프가 내려가고 여기서도 내려가고 여기서는 올라갑니다 0과 2π사이에 있던 그래프를 옮겨온 것입니다 여기에서는 sin(-x)로 시작하여서 2sin(-x)로 가게 됩니다 sin(-x)에서 2sin(-x)로 변환되는 되는 것을 아시겠죠? 이 그래프와 이 그래프의 차이도요? 그래서 진폭을 2배 해야합니다 이 그래프를 2로 곱해야합니다 그러면 진폭을 2배로 얻을 수 있습니다 제가 이번 동영상에서 물어볼 마지막 질문은 2sin(-x)의 주기는 얼마입니까? sin(x)의 주기와의 관계는 어떻습니까? 두 가지 방법이 있습니다 잠시 생각해보시길 바랍니다 이걸 해결하는데 두 가지 방법이 있습니다 여기 그려진 그래프들을 참고할 수도 있고 아니면 조금 직관적으로 생각한 공식을 이용할 수 있습니다 기존의 공식을 생각하면 이 주기는 2π가 될 것입니다 그리고 이를 계수의 절댓값으로 나누면 2π까지 가는데 얼마나 빨리 가는지 알 수 있습니다 -1의 절대값은 1이므로 연산을 하면 2π를 얻게 됩니다 sin(x)와 똑같은 주기를 얻게 됩니다 이 그래프를 보면 2π마다 한 주기가 완성됩니다 무엇이 달라졌을까요? 주기는 똑같습니다 하지만 음의 부호가 완전히 무시될 수 있지는 않습니다 주기를 바꾸지는 않지만 그래프의 모양을 변화시킵니다 x를 증가시키게 되면 기존의 sin함수와 달리 sin값이 증가하지 않습니다 여기서는 x값이 증가할 때마다 -x의 sin값을 얻는 것이므로 음의 각도에 대하여 sin 값을 구해야 합니다 그래서 sin 값이 음의 값부터 시작하는 것입니다 또 다른 문제 해결방법은 y축을 기준으로 sin(x)를 반사시킨다고 생각하면 됩니다 이 둘은 서로 대칭이고 이 둘도 서로 대칭입니다 그리고 이 그래프의 진폭은 이 그래프의 진폭의 2배입니다 그리고 저 그래프는 저 그래프의 진폭의 2배입니다