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사인곡선 수식의 그래프 변환하기: 세로 & 가로 방향으로 늘리기

동영상 대본

주어진 문제는 y = -2.5 cos(x/3)의 그래프를 양끝을 포함하여 0과 6π 사이에서 그리라는 것입니다 최선을 다해 그려 봅시다 시작하기전에 이것의 가장 간단한 형태, 혹은 근본이 되는 형태인 y=cosx의 그래프를 그려보고자 합니다 그려보겠습니다 y=cos(x)의 그래프를 그릴겁니다 이것에 제 y축입니다 이 전체를 표현할 수 있는 충분한 공간이 필요합니다 따라서 이것을 각각 -1, -2로 둡시다 이것은 각각 1, 2로 둡시다 그 다음 오른쪽의 이 부분을 2π로 둡시다 그리고 이 점은 당연히 π가 되겠지요 이제 제가 처음 할 것은 나중에 다시 사용하기 위해 이 부분을 복사해두겠습니다 다시 시작합시다 저는 y=cos(x)의 그래프를 그릴 것입니다 0과 2π 사이만 표현하겠습니다 이것이 주기함수임은 자명하므로 음, 양의 방향 모두 같은 형태로 나타날 것입니다 x가 0이라면 어떨까요? 이 때 cos(x)는 얼마입니까? cos(0)은 1입니다 x가 π라면 어떨까요? cos(π)는 얼마죠? cos(π)는 -1 이지요 그러면 cos(2π)는 어떨까요? 그 값은 다시 1이 됩니다 이제 한 주기를 확인했습니다 한 순환주기를 그린 것입니다 2π가 cos(x)의 주기이므로 그려진 것은 한 주기입니다 원한다면 더 그릴 수 있지만 0과 2π 사이의 한 주기만 표현하도록 하겠습니다 고려하고 싶은 점은 그래프에 일어나는 변화입니다 y=cos(x)의 그래프를 그리는 대신 잠시 새로운 그래프 용지를 그리겠습니다 y=cos(x)의 그래프를 그리는 대신 y=cos(x/3)의 그래프를 그리려고 합니다 이 둘의 유일한 차이점은 x를 1/3배 했다는 것 뿐입니다 이 그래프에 어떤 변화가 일어날까요? x가 x/3이 된다면 무엇이 달라질까요? 여기서 무슨 일이 일어날까요? 여기서 저는 전체 구간인 0에서 6π까지 표현하려고 합니다 충분한 공간을 확보하도록 합시다 이것들은 각각 3π, 4π, 5π, 6π 입니다 이 그래프에서는 무슨 일이 일어날까요? 이것을 고려하는 것에는 여러 방법이 있는데요 가장 쉬운 방법은 한마디로 한 주기를 완료하는 데 원래의 1/3의 속도로 진행된다는 것입니다 혹은 3배 느리다고 할 수 있습니다 혹은 단순히 주기만 생각한다면 cos(x/3)의 주기는 얼마일까요? 주기는 2π를 x앞에 있는 상수의 절댓값으로 나눈 것입니다 그러므로 1/3의 절댓값 즉 1/3로 나누면 됩니다 2π를 1/3로 나누는 것은 2π에 3을 곱하는 것과 같으므로, 6π가 됩니다 직관과 맞아 떨어지는 것입니다 이것은 시작을 어디에서 하든 cos함수가 2π를 도는 것보다 항상 3배의 값이 필요하게 됩니다 어떤 x를 택하든 그것의 1/3이 대입되기 때문입니다 2π를 얻으려면 x가 2π가 되는 것으로는 불충분합니다 x가 6π여야 2π가 cos 함수에 대입됩니다 따라서 주기는 6π가 됩니다 x가 0일 때, 0에 1/3을 곱하면 0이고 cos0은 1입니다 x가 6π일때 대입되는 것은 6π를 3으로 나눈 2π입니다 cos(2π)는 1입니다 그 사이의 경우 이전에서는 π를 대입해 봤지만 여기서는 3π를 시도해봅시다 x가 3π면 cos 함수에 3π의 1/3을 대입하게 되고 그것은 cos(π)입니다 cos(π)는 -1입니다 따라서 x가 3π일 때 우리는 cos(3π*1/3) 즉 -1을 얻습니다 따라서 이 그래프는 이렇게 생겼을 것입니다 그리는 데에 최선을 다하고 있습니다 이런 식으로 생겼을 것입니다 보시다시피 y=cos(x)에서 y=cos(x/3)이 되려면 그것은 근본적으로 이 함수를 3배 늘린 것과 같습니다 주기가 3배라는 것을 볼 수 있지요 여기서 주기는 2π였습니다 이제 문제가 묻는 것을 해결하기 위해서는 한 작업만 거치면 됩니다 단순히 cos(x/3)이 아니라 -2.5cos(x/3)을 그려야 합니다 그려봅시다 다시 축을 그리고 표시해봅시다 각각 2π, 3π, 4π, 5π, 6π 입니다 위에서 우리는 0과 6π 사이만을 그렸고 그 앞에서는 0에서 2π 사이를 표현했습니다 분명하게 이들은 모두 주기 함수이고 반복됩니다 하지만 지금 우리는 y = -2.5 cos(x/3)의 그래프를 그리고자 합니다 이렇게 -2.5 배를 한 것에서 무엇이 일어날지를 몇 가지에 대해 생각해 봅시다 위의 처음 두 그래프에서 진폭은 어땠지요? 앞의 두 그래프에서 진폭이 어땠는지를 생각해봅시다 생각해볼 수 있는 두가지 방법이 있습니다 진폭이라 함은 최댓값과 최솟값의 차이의 반을 말합니다 두 경우 모두 최솟값은 -1이고 최댓값은 1입니다 차이는 2이고, 반은 1입니다 혹은 이 앞에 있는 상수의 절댓값인데 앞에 있는 상수는 1입니다 1의 절댓값은 1이므로 진폭도 1입니다 그러면 이 그래프의 진폭은 얼마일까요? 진폭은 cos 함수에 곱해진 상수의 절댓값이므로 이 경우 진폭은, 초록색으로 표시하면 진폭은 -2.5의 절댓값 즉 2.5입니다 그렇다면 식을 -2.5배하는 것은 그래프를 어떻게 바꿀까요? 생각해봅시다 만약 이것이 그저 2.5배 한것이였다면 그냥 늘리면 됐을 겁니다 각 점은 2.5배만큼 위로 올라갔을 겁니다 그러나 -2.5배를 했으므로, 각 점에서 이들을 늘린 후에 x축을 기준으로 뒤집어야 합니다 해봅시다 바로 위의 경우 x가 0일 때 1을 얻었습니다 하지만 여기서는 이 값을 -2.5배 해주어야 합니다 따라서 -2.5를 얻게 됩니다 -2.5를 표시하겠습니다 이것이 -2.5입니다 음수인데요, 더 확실히 표시하겠습니다 이 점이 -3이 될 것이고 이 점이 3이 될 것입니다 따라서 여기의 점은 -2.5입니다 점선을 그어두겠습니다 나중에 필요할 것입니다 cos(x/3)의 값이 0이려면 앞에 곱한 상수는 영향을 미치지 않고 여전히 0을 얻게 될 것입니다 cos(x/3)의 값이 -1이라면 즉 x가 3π일 때 무슨 일이 일어날까요? cos(x/3)은 보다시피 -1일 겁니다 -1을 -2.5배 한 것은 2.5입니다 따라서 2.5를 얻습니다 점선을 긋도록 하겠습니다 2.5를 얻었고, 여기입니다 cos(x/3)이 0인 경우 곱한 상수는 중요하지 않으므로 그 값은 여전히 0이 됩니다 마지막으로, x가 6π일 때, cos(x/3)은 1입니다 이것을 -2.5배 하면 어떻게 될까요? -2.5가 되겠지요 다시 이 값으로 돌아옵니다 그래프를 그릴 준비가 되었습니다 이 함수를 적었던 자홍색으로 표시해봅시다 이렇게 생겼을 겁니다 선으로 이어보겠습니다 이렇게 생겼을 겁니다 무슨 일이 일어났는지 볼 수 있습니다 여기에 1/3을 곱하여 그래프가 늘어났습니다 이것은 주기를 3배 늘렸습니다 -2.5를 곱한 것은 -만약 2.5를 곱했다면 이 그래프를 조금 확대하면 되었을 겁니다 하지만 -2.5이기에, 단순히 진폭을 늘리기만 하는 것이 아니라, 뒤집기도 해야 합니다 여기서 진폭은 확실히 2.5입니다 중간으로부터 2.5만큼씩 벌어집니다 혹은 최댓값과 최솟값의 차이가 5이기에 그것의 반인 2.5입니다 하지만 이것은 단순히 2.5를 곱한 것이 아닙니다 2.5를 곱했다면 2.5를 곱했다면 이런 그래프를 얻었을 겁니다 하지만 음수를 곱했기에 이것을 x축으로 뒤집어야 했고 이 그래프를 얻었습니다 이것의 진폭은 2.5이지만 위 그래프를 뒤집은 형태를 취합니다