삼각함수 & 직각삼각형 삼각비

화면의 오른쪽에는 주어진 그림에서 나타나는 다양한 비를 보여주고 있습니다 화면의 왼쪽에는 각 MKJ에 대한 사인과 cos 그리고 tan 가 적혀 있습니다 각 MKJ는 그림에 보이는 이 각입니다 두 그림에서 주어진 각의 크기는 θ로 같습니다 이는 그림에 명시되어 있습니다 이제부터 할 일은 화면 오른쪽에 나타난 여러 비가 왼쪽의 삼각비 중 무엇을 의미하는지 확인하는 것입니다 먼저 강의를 잠시 멈추고 스스로 그 답을 생각해 보세요 충분히 푸는 시간을 가지셨다면 이제 답을 같이 확인해 봅시다 먼저 왼쪽의 그림을 봅시다 이 그림이 나타내려 하는 것은 삼각함수의 단위원을 이용한 정의입니다 주어진 각이 단위원 안에 표현되어 있기 때문입니다 그리고 오른쪽의 그림은 직각삼각형에서의 삼각함수의 정의를 나타내고 있습니다 기억을 되살리기 위해 직각삼각형에서 삼각함수가 어떻게 정의되었는지를 되짚어봅시다 사인은 (대변 길이)/(대각선 길이) 코사인은 (밑변 길이)/(대각선 길이) 탄젠트는 (대변 길이)/(밑변 길이)입니다 이 사실을 참고해 보도록 합시다 이번엔 삼각함수의 단위원을 이용한 정의를 떠올려 봅시다 코사인은 단위원과 각이 만나는 교점의 x좌표값이었으며 사인은 그 교점의 y좌표값이었습니다 사인은 그 교점의 y좌표값이었습니다 이 강의를 통해서 여러분은 단위원을 이용한 정의가 직각삼각형을 이용한 정의의 확장일 뿐이라는 것을 알게 될 것입니다 우선 x/1를 확인해 봅시다 x는 주어진 교점의 x좌표값입니다 이는 주어진 각 θ에 대응하는 아래쪽의 초록색 변의 길이를 나타내기도 합니다 x는 주어진 각과 이웃한 변, 즉 밑변의 길이와 같습니다 1은 무엇을 의미할까요? 이 원은 단위원이었습니다 즉 1은 원의 반지름 길이입니다 이는 주어진 직각삼각형에서 빗변의 길이이기도 합니다 직각삼각형을 이용한 정의를 이용해 나타내자면 x/1은 밑변/대각선입니다 x/1은 밑변/대각선입니다 그리고 밑변/대각선은 코사인을 의미했습니다 그러므로 x/1=cosθ입니다 그런데 θ는 각 MKJ의 크기와 같습니다 두 각의 크기가 같으므로 cos∠MKJ와 cosθ의 값 역시 X/1로 동일합니다 이번에는 y/1를 살펴봅시다 y는 주어진 각의 대변에 해당하는 이 변의 길이입니다 이번에는 파란색으로 나타내겠습니다 y는 θ에 대응되는 직각삼각형에서 θ의 대변에 해당하는 길이입니다 θ의 대변에 해당하는 길이입니다 삼각함수 중에서 대변/대각선을 의미하는 것은 무엇이었나요? 바로 사인입니다 즉 이는 sinθ를 나타냅니다 또한 sin∠MKJ는 sinθ와 같은 값을 가집니다 sin∠MKJ와 sinθ 모두 y/1로 같은 값을 가진다는 것을 확인하였습니다 지금까지 본 두 가지 값 모두 직각삼각형을 이용한 정의를 사용했지만 단위원을 이용한 정의로도 나타낼 수 있습니다 x/1는 x와 같은 것입니다 x/1는 x와 같은 것입니다 이는 단위원을 이용한 정의에서 주어진 각의 반직선과 단위원이 만나 생기는 교점의 x좌표값을 의미하기도 했습니다 그러므로 정의에 의해 이 값은 주어진 각의 코사인 값입니다 단위원을 이용한 정의에서도 x가 각의 코사인 값을 의미한 것처럼 y좌표 역시 각의 사인 값을 의미합니다 주어진 점의 좌표를 (x,y)가 아닌 (cosθ, sinθ)로 나타낼 수도 있을 것입니다 다음으로 볼 것은 x/y입니다 이 값은 밑변의 길이를 대변의 길이로 나눈 것으로 볼 수 있을 것입니다 탄젠트는 대변 길이를 밑변 길이로 나눈 것이므로 이 값은 탄젠트의 역수가 될 것입니다 즉 이것을 굳이 표현하자면 1/tanθ가 될 것입니다 이 값은 나중에 배우게 될 코탄젠트라는 것입니다 하지만 아직 배우지 않았으니 건너뜁시다 이 값은 원하는 값이 아닙니다 다음으로 y/x를 살펴봅시다 이번에는 제대로 탄젠트 값을 찾은 것 같습니다 y가 주어진 삼각형의 대변의 길이를 나타내며 x는 밑변의 길이를 나타냅니다 즉 이 값이 바로 tanθ입니다 즉 이 값이 바로 tanθ입니다 tan∠MKJ와 tanθ는 y/x로 그 값이 같다는 것을 알았습니다 이번에는 J/K를 확인해 봅시다 이제부턴 오른쪽의 직각삼각형을 이용해 볼 것입니다 이 각이 저희가 살펴볼 각입니다 이 각을 기준으로 볼 경우 J가 밑변의 길이를 의미하며 K가 대변의 길이가 될 것입니다 K가 대변의 길이가 될 것입니다 즉 J/K는 주어진 삼각형에서 밑변/대변을 의미합니다 그러나 탄젠트는 밑변/대변이 아닌 대변/밑변이었습니다 그러므로 이 값은 tanθ의 역수입니다 이는 화면 왼쪽의 보기에는 없는 값이므로 이 값은 제외시켜 버립시다 이번에는 K/J입니다 이 값은 대변/밑변입니다 이 값은 대변/밑변입니다 즉 이 값은 tanθ입니다 즉 이 값은 tanθ입니다 혹은 tan∠MKJ이기도 합니다 두 탄젠트값 모두 K/J입니다 이번에는 M/J를 보겠습니다 이는 대각선/밑변입니다 그림에서 보듯 M의 값이 대각선의 길이입니다 대각선/밑변은 무엇일까요? 만약 밑변/대각선이었다면 이 값은 코사인을 의미했을 것입니다 하지만 주어진 값은 이것의 역수입니다 즉 M/J는 1/cosθ이며 원하는 값은 아니었습니다 그러므로 이 값 역시 제외시켜 버립시다 이번에는 방금 전의 역수 J/M입니다 이것은 밑변/대각선이므로 코사인 값을 의미합니다 즉 이 값은 cosθ입니다 또한 cos∠MKJ와도 같습니다 두 코사인 값 모두 J/M이었습니다 마지막으로 남은 것은 K/M입니다 이것은 대변/대각선이므로 이것은 대변/대각선이므로 sinθ를 의미할 것입니다 즉 K/M은 sinθ와 같으며 이는 다시 sin∠MKJ와 같습니다 즉 파란색 글씨로 쓰인 식들은 모두 K/M과 같습니다 이번 강의는 끝입니다 수고하셨습니다