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주요 내용
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동영상 대본

여기 중심이 점 A인 단위원이 있습니다 점 B는 원 위에 있습니다 그리고 점 B에서 수선의 발 점 D를 내렸습니다 점 D는 양의 x축 위에 위치하며 이 점들은 삼각형 ABD를 만듭니다 각 BAD의 크기는 π/4 라디안인 것을 알 수 있습니다 이번 동영상에서 제가 하고 싶은 것은 삼각함수와 삼각형에 대한 지식을 이용하여 새로운 것을 알아내는 것입니다 제일 먼저 해야 할 것은 각 ABD의 호도각 크기를 알아내는 것입니다 그걸 먼저 하고 그 다음 과정을 설명하겠습니다 일시정지를 누르고 문제를 풀어보셨나요? 이제 각 ABD의 크기를 함께 풀어 봅시다 이 삼각형에서 두 개의 크기는 알고 있습니다 두 개의 크기를 알면 세 번째 각의 크기도 구할 수 있겠죠 우리는 삼각형의 세 내각의 합이 180도라고 하는 것에 익숙합니다 하지만 이제 라디안 단위를 사용하고 있으니 삼각형 세 내각의 합은 180도가 아니라 π라고 해야할 것입니다 그래서 이 세 내각의 합은 π가 될 것입니다 여기에 써보겠습니다 이 직각은 라디안 단위로 환산하면 π/2가 될 것입니다 그래서 각 ABD + π/4 + π/2는 π가 될것입니다 그리고 π는 180도입니다 이렇게 각 ABD의 크기를 구할 수 있습니다 각 ABD는 π - π/2 - π/4입니다 분모를 4로 통일하여 계산하면 4π/4 - 2π/4 - π/4이고 4 - 2 - 1은 1입니다 답은 π/4입니다 결국 각 ABD는 각 BAD와 크기가 같습니다 π/4이죠 그래서 여기 이 각은 π/4입니다 그럼 이게 어디에 쓸모가 있을까요? 이 두 각이 π/4임을 알아냈는데 이건 모두 단위원 위인 것을 상기해 봅시다 그래서 선분 AB는 이 원의 반지름이므로 길이가 1인 것을 알 수 있습니다 이 삼각형에 대한 다른 정보는 없을까요? 선분 AD나 선분 DB의 길이를 구할 수 있을까요? 당연히 가능합니다 이 두 각의 크기가 같기 때문에 이 두 변의 길이도 같아야 합니다 그래서 이 길이와 이 길이가 합동 즉 같아야 하는거죠 이해하기 쉽게 재배치 하겠습니다 이걸 이렇게 뒤집겠습니다 그래서 이 삼각형을 이렇게 뒤집어서 이 각이 직각이 되도록 하면 삼각형 ABD를 이렇게 볼 수 있습니다 이 점들이 각각 D, B, A이고 이 각이 직각이며 나머지 두 각이 π/4입니다 두 밑각의 크기가 같으므로 이것은 이등변삼각형입니다 세 변이 다 같은지는 모르니까 정삼각형은 아닙니다 세 각의 크기가 모두 같으면 정삼각형이겠지만 이 삼각형은 정삼각형이 아니고 이등변삼각형입니다 따라서 밑각의 크기가 같으므로 대응하는 변들의 길이도 같을 것임을 알 수 있습니다 이 두 변의 길이가 같습니다 이등변삼각형이죠 그러면 어떻게 이 두 변의 길이를 구할 수 있을까요? 이 변의 길이를 x라고 하겠습니다 그럼 이쪽 변도 길이가 x겠지요 두 변 다 길이가 x입니다 이제 피타고라스 정리를 쓰면 됩니다 x² + x²은 빗변의 제곱 즉 1²입니다 그러면 2 × x²=1 또는 x²=1/2이라고 할 수 있습니다 양변에 루트를 씌우면 x=1/√2이라는 식을 구할 수 있습니다 루트가 분모에 있는 것을 싫어하는 사람들이 있습니다 유리수가 분모에 있는 것을 더 선호하죠 그래서 √2 /√2를 곱해서 유리화를 하겠습니다 그러면 분자는 √2가 될 것이고 분모는 √2 × √2가 되어서 2가 될 것입니다 벌써부터 흥미로운 점들을 몇 가지 발견하였습니다 라디안 단위의 각 ABD를 구할 수 있었고 선분 AD와 선분 BD의 길이도 구할 수 있었습니다 이제 π/4의 sin, cos, tan 값을 구해 볼려고 합니다 지금까지 한 것에 더해서요 사인부터 구해 봅시다 주황색으로 할게요 지금까지 한 것을 이용하면 sin π/4는 무엇인가요? 일시정지를 해서 구해 보세요 단위원에서 이용되는 삼각함수의 정의를 고려해보세요 단위원에서의 삼각함수를 이용해 봅시다 π/4는 양의 x축과 단위원을 교차하는 반직선으로 이루어진 각입니다 이 점에서의 x와 y좌표가 cos과 sin입니다 그래서 π/4의 cos값이 x좌표가 될 것이고 π/4의 sin값이 y좌표가 될 것입니다 그러면 y좌표값은 무엇일까요? sin π/4는 여기 이 길이값이 될 겁니다 여기 있는 x의 길이 즉 √2 / 2이 될 것입니다 그러면 cos π/4은 무엇일까요? 일시정지를 누르고 문제를 풀어보세요 이 x좌표값을 구해 봅시다 x좌표를 값은 √2 / 2이 될 것입니다 tan π/4의 값도 구해볼까요? tan π/4는 sin π/4 ÷ cos π/4입니다 sin과 cos 값은 똑같이 √2 / 2이죠 그래서 tan 값은 (2/2)/(√2/2) 즉 1입니다 그리고 이 빗변의 길이와 같기 때문에 논리적입니다 이 빗변을 보면 x만큼 수평방향으로 움직일 때마다 그만큼 위로 움직입니다 그래서 y의 변화율/x의 변화율은 x/x이며 이 또한 1입니다