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주요 내용
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동영상 대본

이번 동영상의 주제는 우리가 이미 어느 정도 알고 있는 pi(파이)와 라디안으로 각도를 재는 것입니다 더불어 과연 pi가 우리가 주목해야할 가장 최선의 숫자인가에 대해 생각해 보겠습니다 방금 이 말의 의미를 짚어보겠습니다 pi라는 것의 정의를 아마 삼중등호라고도 부르는 합동 기호를 이용해 표현하면 원 둘레 c와 지름 d의 비율 (c/d)이며 이는 원 둘레 c와 반지름 r의 2배인 2r의 비율인 (c/2r)와 같습니다 이것으로부터 기하 시간의 모든 흥미로운 공식들이 유도되는데 예를 들어 반지름이 주어진 상태에서 원 둘레를 계산하려면 이 정의 즉 이 등식의 양변에 반지름의 2배인 2r을 곱하면 됩니다 반지름의 2배인 2r에 pi를 곱하면 원 둘레 c를 얻게 됩니다 또는 보다 친숙한 표현으로 원 둘레는 (2*pi*r)이 됩니다 이것은 여러분이 어렸을 때 배웠던 가장 기본적인 것 중 하나이며 보통 원 둘레를 알아내고자 하거나 또는 원 둘레가 주어졌을 때 반지름을 알아내고자 할 때 이용했을 겁니다 이것을 기초로 삼각함수 시간에 라디안으로 각도를 측정하는 것이 가능해집니다 복습할 겸 여기에 원을 하나 그리겠습니다 조금 더 잘 그려 보죠 이 정도면 되겠습니다 여기 양의 x축이 있고 각도 하나를 만들겠습니다 다소 분명한 각도를 위해 이 각도를 만들겠습니다 각도를 재는 방법으로 라디안은 사실 특정 호의 길이에 대응하는 각도를 말합니다 호의 길이를 잰다는 것은 개인적인 생각으로 약간 어폐가 있지만 각도는 라디안의 단위로 호의 길이 자체는 반지름의 단위로 표현하는 것이라 볼 수 있습니다 이것은 제 생각입니다 라디안 각도에 대응하는 호의 길이는 반지름의 단위로 얼마일까요? 무슨 말인지 설명하겠습니다 반지름이 r이라고 하면 여기 이 호의 길이는 얼마가 될까요? 기본적인 기하의 지식으로부터 여기 전체 원 둘레는 (2*pi*r)이 됩니다 맞죠? 이 전체 원 둘레는 정의에 의해 (2*pi*r)이 됩니다 그렇다면 여기 이 호의 길이는 얼마일까요? 이것이 원의 1/4이라 가정하면 (2*pi*r/4)이 됩니다 따라서 여기 이 호의 길이는 (2*pi*r/4) 즉 (pi/2)r이 됩니다 또는 이것을 반지름의 (pi/2)배라고 말할 수도 있습니다 알다시피 이것들은 흔히 표현되는 방식은 아니고 제 개인적인 생각입니다 혹은 (pi/2) 라디안에 대응하는 각도라고 말해도 됩니다 여기 각도 t(세타)는 (pi/2) 라디안이 됩니다 라디안으로 각도를 잰다는 것은 반지름 radius의 복수형이 무엇인지 모르겠지만 반지름의 단위로 측정된 호의 길이에 대응하는 각도를 잰다는 말합니다 사실 복수형은 radii라고 생각하지만 재미삼아 radiuses라고 말해 본 것입니다 다른 사람들이 저보고 radius의 복수형을 잘못 가르친다는 말을 못하게 radii라고 해 둡시다 이 호의 길이는 반지름의 (pi/2) 배가 되며 대응 각도는 (pi/2) 라디안이 됩니다 요점을 분명히 하기 위해 한 가지 예를 더 들어 보겠습니다 원 둘레를 따라 한 바퀴 돌아 다시 여기 양의 x축에 다시 돌아오면 호의 길이는 얼마가 됩니까? 이제 호의 길이는 전체 원 둘레가 됩니다 (2*pi*r)입니다 이 호의 길이에 대응하는 각도는 원을 한 바퀴 회전한 각도인 (2*pi) 라디안이 됩니다 이것이 삼각함수 그래프 작성의 기초가 되며 또는 최소한 x축에 그래프를 작성하는 기초가 됩니다 이제 개인적으로 수학에서 가장 멋진 공식이라고 생각하는 오일러의 공식에 대해 언급하겠습니다 이제 pi가 이 모든 것에 어떻게 적용되는지 다시 한번 확인하도록 합시다 삼각함수에 대해 생각해 봅시다 기억할 것은 삼각함수를 정의하기 위해서는 단위원을 가정한다는 것입니다 따라서 이것은 삼각함수의 단위원을 이용한 정의이며 지금까지 한 것에 대한 좋은 복습이 될 것입니다 반지름이 1인 단위원을 가정하면 여기 어떤 특정 각도 t에 대한 삼각함수는 다음과 같이 정의됩니다 cos(t)는 그 각도에 대응하는 호(원 둘레) 상의 점의 x 좌표가 됩니다 이것이 cos(t)입니다 그리고 sin(t)는 그 점의 y 좌표가 됩니다 명확히 해 보겠습니다 cos(t)는 x 좌표값이고 sin(t)는 y 좌표값입니다 이 함수들 중에서 편의상 sin(t) 함수를 그래프로 그려 보겠습니다 cos(t) 함수는 여러분 스스로 그려보기 바랍니다 sin(t)의 그래프를 그려봅시다 sin(t)를 한 바퀴 회전시켜 봅시다 이것을 사인한다고 이름 붙여 봅시다 각도가 0일 때 sin(t)는 0입니다 기억하기 쉽도록 x축과 y축을 그려 보겠습니다 이것이 y축이고 이것이 x축입니다 각도가 0일 때 단위원의 위치는 바로 여기입니다 여기 y 좌표값은 0입니다 따라서 sin(t)는 이런 모양이 될 것입니다 이렇게 그려 보겠습니다 이것이 t이고 y축을 따라 sin(t) 그래프를 그리도록 하겠습니다 이 그래프에서 y는 sin(t)가 되고 바로 여기에 그리도록 하겠습니다 그리고 여기에 몇 개의 점을 찍도록 하겠습니다 각도를 계속 변화시켜 90도로 회전시키면 즉 (pi/2) 라디안으로 회전시키면 sin(t)는 얼마일까요? 1이 됩니다 이것은 반지름이 1인 단위원입니다 t가 (pi/2)일 때 sin(t)는 1이 됩니다 따라서 바로 여기 이것이 1이면 sin(t)도 1이 됩니다 t가 180도 즉 원의 반을 회전하면 t는 pi가 됩니다 주황색으로 표시하겠습니다 주황색은 이미 사용한 적이 있습니다 이제 t는 pi가 됩니다 t가 1이면 이 점의 y 좌표값은 다시 0이 됩니다 다시 0으로 돌아갑니다 sin(t)에 대해 설명하고 있습니다 그 다음 계속 내려가서 여기 270도까지 회전해 봅시다 이 점은 (3*pi/2) 라디안으로 볼 수 있습니다 이 축은 라디안으로 표시되어 있습니다 따라서 (3*pi/2) 라디안에 대한 sin(t)의 단위원 상 y축 값은 바로 여기 -1이 됩니다 여기가 -1입니다 마지막으로 원을 따라 (2*pi) 라디안을 회전하게 되면 다시 원래의 시작점으로 돌아오게 됩니다 sin(t) 값 즉 y축 좌표값은 다시 한번 0이 됩니다 그리고 이 점들을 연결하면 즉 더 많은 점들을 찍는다면 바로 여기 그린 대로 사인 곡선의 일부분을 보게 될 것입니다 이것이 또 하나의 응용입니다 여러분은 이제 제가 무엇을 할 것인지 궁금할 것입니다 이제 여러분에게 지금까지 한 모든 것을 다시 보여 줄 것인데 이번에는 pi가 아닌 다른 숫자를 갖고 할 것입니다 이제 마지막으로 pi에 대해 얘기하고자 합니다 여러분은 pi가 파워풀하다고 말할지 모릅니다 pi가 어떤 신비스러운 힘을 갖고 있는 것처럼 보이는 이유 중 하나는 미적분학 동영상에서 본 적이 있는 e의 (i*t) 제곱은 cos(t) 더하기 i*sin(t)와 같은 즉 e^it = cos(t) + i*sin(t)로 표현되는 오일러의 공식때문입니다 오일러의 공식 그 자체는 이해하기 힘든 공식 중 하나입니다 하지만 t 자리에 pi를 대입하면 공식은 더 이해하기 힘들어 지는데 왜냐하면 오일러의 공식으로부터 e^(i*pi)는 다음과 같습니다 그런데 먼저 cos(pi)는 얼마죠? cos(pi)는 -1입니다 그리고 sin(pi)는 0입니다 따라서 0 곱하기 i가 됩니다 결국 이 심오한 공식에 이르게 되고 하나의 공식에 핵심적인 숫자들을 모두 포함시키기 위해 이 공식의 양변에 1을 더합니다 그 결과는 e^(i*pi) + 1 = 0입니다 이것이 오일러의 등식이라 불리는 수학에서 가장 멋진 공식입니다 더구나 매우 심오한 내용을 담고 있습니다 핵심적인 숫자들이 하나의 등식에 모두 포함되어 있습니다 즉 e와 i 그리고 pi와 1 및 0이 있습니다 다만 저의 미적 취향에서 보면 여기 이것이 1이었더라면 더욱 더 파워풀했었을 것입니다 이렇게 된다면 이 이상하게 보이는 e^(i*pi)는 1과 같게 됩니다 그렇게만 되면 저에게는 기막히게 심오한 공식이 되었을 겁니다 약간 어색할 수 있지만 양변에 1을 더하면 여기는 0이 됩니다 하지만 기막힌 결과입니다 그러나 이것 갖고 논쟁을 벌이지는 않을 것입니다 이제 pi가 아닌 다른 숫자에 대한 논쟁을 소개하고자 합니다 분명히 할 것은 이것은 저의 독창적인 이이디어가 아니라는 것입니다 이것은 현재 많은 사람들이 동참하고 있는 tau(타우) 운동으로부터 나온 것 아니 영감을 받은 것이며 바로 이런 부류의 사람들로 인해 저도 그런 생각을 하게 된 것입니다 그 운동의 선구자는 pi는 틀렸다고 주장한 로버트 팔레입니다 팔레는 pi가 잘못 계산되었다고 주장한 것이 결코 아니며 여전히 그것은 원 둘레와 지름의 비율인 3.14159라는데 동의하고 있습니다 하지만 팔레가 말하고자 하는 것은 우리가 잘못된 숫자에 관심을 집중하고 있다는 것입니다 또한 마이클 하틀의 tau 선언도 있습니다 이것들은 모두 온라인으로 이용가능합니다 그들 주장의 핵심은 tau라고 부르는 숫자입니다 tau는 pi를 약간 변형해 정의한 것으로서 원 둘레 c와 지름 d의 비율 즉 원 둘레 c와 반지름 r의 2배인 2r의 비율이 아닌 다른 것으로 정의하고 있습니다 원 둘레 c와 반지름 r의 비율인 어떤 숫자를 정의하는 것이 자연스러운 것이라 주장합니다 보시다시피 pi는 여기 이 숫자의 1/2일 뿐입니다 (c/2r)는 (c/r)의 1/2인 (1/2)(c/r)와 같습니다 따라서 pi는 tau의 절반입니다 또는 tau는 pi의 2배라고 생각해도 좋습니다 그리고 여러분은 결코 저에게 이 숫자를 외우게 하지 않을 것이라 믿습니다 왜냐하면 pi를 외우는데는 평생을 허비해야 하며 tau는 pi와 마찬가지로 6.283185 다음에 반복되지 않으면서 영원히 지속되는 숫자이기 때문입니다 tau는 pi의 2배입니다 그리고 여러분은 pi가 이미 천년 간 사용해 왔다는 것을 알고 있습니다 그런데 왜 그렇게 핵심적인 숫자를 특히 그 숫자의 심오함을 보여주는데 많은 시간을 할애한 시점에 뒤흔들고 있는 걸까요? 팔레나 하틀의 주장은 매우 일리가 있어 보이는데 tau에 주목할 때가 tau의 절반인 숫자에 주목할 때보다 모든 것이 우아해 보일 수 있다는 것입니다 이를 알아보기 위해 지금까지 했던 것을 다시 검토하겠습니다 이제 pi가 아닌 (2*pi)에 주목해 봅시다 또는 (tau/2) 대신 tau에 주목해 봅시다 자홍색으로 표시한 각도는 얼마입니까? 우선 바로 여기 있는 공식에 대해 생각해 봅시다 반지름의 단위로 볼 때 원 둘레는 얼마입니까? 이제 원 둘레는 (tau*r)이라고 말할 수 있는데 왜냐하면 tau는 (2*pi)와 같기 때문입니다 이렇게 공식을 좀더 깔끔하게 만들 수 있습니다 다만 pi 곱하기 r 제곱인 (pi*r^2)은 조금 더 복잡해질 수 있습니다 따라서 찬반 양론이 있을 수 있습니다 그러나 tau를 사용하면 라디안의 계산을 훨씬 더 직관적으로 할 수 있는데 왜냐하면 (pi/2) 라디안은 2 분의 pi 라디안이라고 말할 수 있는데 (tau/4) 라디안과 같기 때문입니다 어째서 직관적인 걸까요? 원을 한 바퀴 돌면 그것이 바로 원 둘레입니다 호의 길이는 원 둘레가 됩니다 그것은 반지름의 tau 배가 됩니다 또는 그 호의 길이에 대응하는 각도는 tau 라디안이 됩니다 tau 라디안입니다 한 바퀴 돌면 tau 라디안입니다 따라서 그것 자체가 직관적입니다 한 바퀴는 1 tau 라디안입니다 1/4 바퀴만 돌면 (tau/4) 라디안이 됩니다 따라서 tau가 보다 더 직관적인 이유는 2로 나누고 2로 곱하는 등 모든 불필요한 변환을 할 필요가 없기 때문입니다 tau 단위로 라디안이 얼마인가 하는 것은 원 둘레를 얼마나 회전했는 가를 보면 됩니다 만약 1/4 바퀴라면 (tau/4) 라디안이 됩니다 반 바퀴를 회전하면 (tau/2) 라디안이 됩니다 3/4 바퀴를 돌면 (3*tau/4) 라디안이 됩니다 한 바퀴를 돌면 바로 tau 라디안이 됩니다 누군가가 10 tau의 각도를 말하면 그것은 정확히 원 둘레를 10 번 회전한 것이 됩니다 훨씬 더 직관적입니다 라디안을 pi 단위로 바꿀 때 처럼 결코 머릿 속으로 수학 계산을 한다거나 2로 곱하거나 나누는 등의 변환도 할 필요가 없습니다 tau 라디안의 단위로 계산하는 것이 자연스러운 것입니다 한 바퀴는 1 tau 라디안입니다 그렇게 해서 여기 사인 함수가 만들어 집니다 (pi/2)라고 쓰는 대신 이런 그래프를 볼 때 이것은 단위원의 어디에 있을까요? 원의 1/4 지점에 있습니까? 1/2 지점입니까? 사실은 원의 1/4 지점입니다 바로 여기이지요? 하지만 만약 tau 단위로 표현하면 보다 명확해 집니다 (pi/2)는 (tau/4)와 같습니다 pi는 (tau/2)와 같습니다 (3*pi/2)는 3 pi 아니 미안합니다 (3*tau/4)가 됩니다 그리고 1 회전은 tau입니다 이제 이런 식으로 생각하면 단위원의 어느 지점인지를 정확히 알 수 있습니다 단위원의 1/4 지점에 있는지 단위원의 1/2 지점에 있는지 단위원의 3/4 지점에 있는지 그리고 단위원을 한 바퀴 회전했는지를 알 수 있습니다 제가 생각하기에 pi 옹호론자들이 마지막으로 주장할 수 있는 것은 제가 수학에서 가장 멋진 항등식 또는 공식을 거론했다는 사실일 것입니다 이것과 tau의 관계는 무엇입니까? 그것이 무엇인지 생각해 봅시다 e의 (i*tau) 제곱은 cos(tau) 더하기 i*sin(tau)와 같은 e^(i*tau) = cos(tau) + i*sin(tau)가 됩니다 이것이 무엇인지 다시 한번 생각해 봅시다 tau 라디안은 원을 한 바퀴 돌았다는 것을 의미합니다 따라서 cos(tau)는 바로 여기 단위원의 출발점에 돌아왔기 때문에 1이 됩니다 그리고 sin(tau)는 0이 됩니다 따라서 e^(i*tau)는 1이 됩니다 이제 어느 것이 더 미적으로 심오한지는 여러분의 판단에 맡기겠습니다