도를 라디언으로 나타내기

150˚와 -45˚를 라디안으로 바꿔 봅시다 그러기 위해 우선 라디안과 60분법 사이의 관계에 대해 알아봅시다 이제 이 점을 기준으로 원을 그리겠습니다 마우스로 그리는 것이라 이상하더라도 양해 바랍니다 원이 완벽하진 않지만 강의에는 문제없을 겁니다 60분법을 이용해 한 바퀴에 해당하는 각을 표현하기 위해선 몇 도라고 적어야 할까요? 우리는 이미 한 바퀴가 360º임을 알고 있습니다 이번엔 라디안 단위로 표현해봅시다 한 바퀴는 라디안 단위로 얼마인가요? 기억을 되살려봅시다 라디안 단위로 각을 잰다는 것은 사실상 호의 길이를 따져 본다는 의미입니다 그런 의미에서 한 바퀴를 라디안으로 잰다는 것은 원 전체의 둘레의 길이를 따져 보는 것입니다 즉 원주의 길이를 알면 될 것입니다 원의 둘레의 길이는 반지름의 몇 배일까요? 우리는 이미 원의 둘레가 반지름의 길이의 2π배임을 알고 있습니다 이를 간단히 '2π반지름'으로 표기하겠습니다 즉, 원주의 길이를 구하기 위해선 단순히 반지름의 길이에 2π를 곱하면 됩니다 사실 이 방법을 통해 π라는 수가 정의되었습니다 이는 원의 둘레를 구하는 공식이기도 합니다 앞에서의 결론에 의해 한 바퀴는 2π라디안입니다 이제 얻은 정보를 정리해 봅시다 2π라디안이 의미하는 각도는 360º와 같다는 것을 알게 되었습니다 이제 이 식을 정리해보겠습니다 더 간결하게 만들기 위해 양변을 2로 나누겠습니다 이럴 경우 양변에 남는 값을 계산해 봅시다 좌변은 π라디안이 됩니다 그리고 우변은 180º가 됩니다 이제 이 관계식을 이용해서 150º가 몇 라디안인지를 구하려면 어떻게 해야 할까요? 이 식을 다시 한 번 변형해 봅시다 양변을 180º로 나누면 좌변은 π라디안/180º이 되고 우변은 1이 됩니다 이는 π라디안의 각도에 180º가 대응된다는 뜻입니다 아니면 1º의 각도에 π/180라디안이 대응된다고 생각해도 됩니다 다른 방법은 양변을 π라디안으로 나누는 것입니다 그럴 경우에는 좌변이 1 우변이 180º/π라디안이 될 것입니다 이는 아까와 같은 방법으로 해석하면 1라디안의 각도에 180/πº가 대응되는 것으로 생각할 수 있습니다 이제 이 정보로 처음의 질문에 답하려면 어떻게 해야 할까요? 우선 150º를 라디안으로 나타내 봅시다 우선 150º를 적겠습니다 이제 우리는 150º를 라디안으로 고칠 것이므로 1º는 몇 라디안인지를 알 필요가 있습니다 이는 다른 색으로 적겠습니다 1º는 몇 라디안에 대응될까요? 이번엔 초록색으로 적겠습니다 이 질문의 답은 방금 논의했습니다 π라디안이 180º이므로 1º는 π/180라디안입니다 이제 단순히 식을 곱해주면 됩니다 분자와 분모에 각각 º 단위가 있으므로 이 둘은 서로 약분될 것입니다 그러므로 남은 것은 150×π/180라디안입니다 이를 계산하면 얼마인가요? 계산을 위해 식을 다시 적읍시다 분자에는 150×π가 있고 분모에는 180이 있습니다 그리고 단위는 라디안입니다 식을 간단히하기 위해 분자와 분모를 30으로 나눕시다 분자의 150을 30으로 나누면 5가 남을 것이고 분모의 180을 30으로 나누면 6이 남을 것입니다 그러므로 답은 5π/6라디안입니다 혹은 읽는 방법에 따라 (5/6)π라디안으로 볼 수도 있습니다 이제 같은 방법으로 -45º에 대해서도 해보겠습니다 -45º를 라디안으로 바꾸면 얼마가 될까요? 아까와 완전히 같은 방법입니다 우선 -45º를 적겠습니다 180º는 π라디안이므로 π라디안/180º를 곱해줍시다 º 단위는 서로 약분되고 남은 것은 -45×π/180라디안입니다 식을 다시 적겠습니다 -45π/180라디안이 남았습니다 식을 어떻게 간단히할 수 있을까요? 분자, 분모 모두 9로 약분 가능합니다 9에다 5를 곱하면 45가 되고 9에다 20을 곱하면 180입니다 9 말고도 약분할 수 있는 수가 더 있는 것 같습니다 사실상 두 수 모두 45로 나눠지는군요 이제 분자를 45로 나누면 1이 될 것이고 분모를 45로 나누면 180은 45의 4배이므로 4가 될 것입니다 남은 식은 -(1/4)π라디안입니다 이제 풀이가 모두 끝났습니다