y=sin(x)와 y=cos(x)의 교점

구간 0 ≤ θ ≤ 2π 에서 구간 0 ≤ θ ≤ 2π 에서 y = sinθ와 y = cosθ의 교점은 몇 개일까요? y = sinθ와 y = cosθ의 교점은 몇 개일까요? θ는 0 이상 2π 이하입니다 θ는 0 이상 2π 이하입니다 0과 2π 사이에서 가능한 θ의 값을 구합니다 이 문제를 풀기 위해 θ, sinθ, cosθ 차트를 만듭니다 θ, sinθ, cosθ 차트를 만듭니다 이를 이용하여 단위원상에 y = sinθ 그래프와 y = cosθ 그래프를 나타내고 몇 번 만나는지와 어디서 만나는지를 생각해 봅시다 시작해보죠 일단은 이 원은 단위원입니다 x축과 y축이 있고요 여기에 두 그래프를 나타낼 것입니다 따라서 이는 y축이고 이 수평선은 x축이 아닌 θ축입니다 이 수평선은 x축이 아닌 θ축입니다 θ = 0 인 경우 먼저 생각해 봅시다 θ = 0 인 경우 먼저 생각해 봅시다 θ = 0 일 때 이 점에 위치합니다 다른 색으로 나타내면 단위원에서 여기에 위치합니다 이 좌표는 무엇일까요? (1,0) 입니다 (1,0) 입니다 이를 바탕으로 θ = 0 일 때 cosθ의 값은 무엇일까요? cosθ = 1이고 sinθ = 0 입니다 이것은 단위원에서의 교점의 x축 값입니다 교점의 x 좌표이고 이것은 y 좌표입니다 계속해보죠 π/2인 경우입니다 π/2는 여기 있습니다 좌표가 뭐죠? x = 0, y = 1 입니다 이를 바탕으로 cosθ = 0 이고 sinθ은 무엇일까요? 1입니다 y좌표입니다 π의 경우를 살펴봅시다 π의 경우를 살펴봅시다 단위원상에 여기 위치하죠 좌표가 무엇일까요? (-1,0) 입니다 cosθ의 값은 x좌표이므로 -1입니다 sinθ는 y좌표인 0입니다 계속 진행합니다 3π/2가 있습니다 3π/2가 여기 있다면 좌표는 무엇일까요? (0,-1) 입니다 cosθ는 x좌표이므로 cosθ = 0 이고 sinθ는 무엇이 될까요? -1 입니다 마지막으로 2π 입니다 완전히 한 바퀴 회전을 했네요 한 바퀴 돌아서 이 점으로 다시 돌아옵니다 따라서 좌표는 각이 0인 경우와 완전히 동일합니다 각이 0인 경우와 완전히 동일합니다 cosθ는 1이고 cosθ는 1이고 sinθ는 0입니다 이를 바탕으로 그래프를 대략 그릴 수 있고 어디서 만나는지 생각해볼 수 있습니다 먼저 cosθ 입니다 θ = 0일 때 표시를 하자면 여기는 y = 1 이고 여기는 y = -1 입니다 따라서 y = cosθ 는 그래프를 그리면 θ = 0 일 때 cosθ = 1 입니다 θ = 0 일 때 cosθ = 1 입니다 θ = π/2 일 때 cosθ = 0 입니다 θ = π 일 때 cosθ = -1 이고 θ = 3π/2 일 때 cosθ = 0 입니다 바로 이 값이죠 마지막으로 θ = 2π 일 때 cosθ는 다시 1이 됩니다 cosθ는 다시 1이 됩니다 그래프는 이런 식으로 만들어집니다 그래프는 이런 식으로 만들어집니다 최대한 잘 그려볼게요 아주 매끄럽게 말이죠 무언가 보입니다 이런 식으로 되겠죠 이 곡선의 모양은 익숙한 느낌이 들어야 하므로 이렇게 그려집니다 따라서 이 그래프는 y = cosθ 입니다 같은 방식으로 y = sinθ 를 그려봅시다 θ = 0 일 때 sinθ = 0 이고 θ = π/2 일 때 sinθ = 1 θ = π 일 때 sinθ = 0 입니다 θ = 3π/2 일 때 sinθ = -1 입니다 sinθ = -1 입니다 θ = 2π 일 때 sinθ = 0 입니다 따라서 그래프는 이런 모양이 됩니다 따라서 그래프는 이런 모양이 됩니다 최대한 예쁘게 그린 것입니다 이런 모양이 됩니다 시각적으로 문제를 풀면 0과 2π를 포함하는 구간 0 ≤ θ ≤ 2π 에서 y = sinθ와 y = cosθ의 교점은 몇 개일까요? 교점은 몇 개일까요? 그래프를 보면 교점이 두 개 보입니다 이 점과 이 점이죠 이 점과 이 점이죠 구간 0 ≤ θ ≤ 2π 에 있습니다 이들은 순환 그래프입니다 계속 진행하다 보면 서로 계속 만나게 되지만 구간 0 ≤ θ ≤ 2π 에서는 교점이 두 개입니다 교점의 위치를 구해봅시다 한 점은 한 점은 0과 π/2 사이에 있고 다른 점은 π와 3π/2 사이에 있습니다 이 값들이 무엇인지 구할 수 있다면 단위원을 살펴봅시다 이 값은 π/4인 것 같습니다 증명해보죠 π/4일 때 이 값들이 무엇인지 봅시다 π/4는 π/4는 여기 있습니다 π/4는 45도입니다 π/4는 45도입니다 여기 π/4가 있습니다 좌표를 구해봅시다 좌표를 구해봅시다 직각삼각형을 만들어보죠 직각삼각형을 만들어보죠 직각삼각형입니다 이 직각삼각형으로 무엇을 알 수 있죠? 좀 더 정확하게 그려보도록 할게요 이것은 아주 일반적인 형태의 직각삼각형이므로 익숙하게 그릴 수 있습니다 최대한 예쁘게 그립니다 이것은 직각삼각형이므로 이 각은 45도입니다 빗변의 길이는 무엇일까요? 단위원의 반지름은 1이므로 빗변의 길이는 1입니다 이 각에 대해서 알 수 있나요? 무조건 45도입니다 모든 각의 합이 180도이기 때문이죠 두 각이 동일하므로 두 변의 길이 또한 같습니다 피타고라스 정리를 이용하여 변의 길이를 구해봅시다 두 변의 길이가 같다는 것을 이용하여 피타고라스 정리를 이용하면 이 변들의 길이는 무엇이 될까요? 이 변의 길이가 a라면 이 변의 길이도 a입니다 피타고라스 정리를 이용하면 a² + a² = 1 이 성립합니다 a² + a² = 1 이 성립합니다 즉, 2a² = 1 이므로 a² = 1/2 입니다 양변에 제곱근을 취하면 a = √(1/2) 즉, 1/√2 입니다 즉, 1/√2 입니다 분모와 분자에 √2를 곱하여 분모와 분자에 √2를 곱하여 분모를 유리화하면 a = √2/2 입니다 a = √2/2 입니다 a = √2/2 입니다 a = √2/2 입니다 따라서 이 변의 길이는 √2/2 이고 이 변도 똑같습니다 따라서 이 변의 길이는 √2/2 이고 따라서 이 변의 길이는 √2/2 이고 이 높이도 √2/2 입니다 이 높이도 √2/2 입니다 따라서 이를 바탕으로 좌표는 무엇일까요? 양의 방향으로 √2/2 이므로 양의 방향으로 √2/2 이므로 x = √2/2 이고 y도 양의 수직 방향으로 √2/2 이므로 √2/2 이므로 y = √2/2 입니다 cosθ는 x좌표이므로 cosθ는 x좌표이므로 √2/2 입니다 sinθ는 y좌표입니다 즉각적으로 느껴지듯이 이 점과 동일합니다 따라서 이 점에서 두 값 모두 √2/2 입니다 그렇다면 π와 3π/2 사이에 있는 점의 좌표는 무엇일까요? 여기가 θ = π 이고 여기는 θ = 3π/2 이므로 여기에 위치하게 됩니다 여기에 위치하게 됩니다 따라서 각의 크기는 π + π/4 입니다 즉, 4π/4 + π/4 입니다 따라서 5π/4가 되겠죠 따라서 5π/4가 되겠죠 따라서 5π/4가 되겠죠 우리가 구하고자 하는 값입니다 θ = 5π/4 일 때 이 함수들의 값은 무엇일까요? 여러 가지 방법으로 구할 수 있습니다 기하학을 이용하면 이 각이 45도라면 이 각 또한 45도입니다 참조각을 45도에 대하여 나타낼 수 있습니다 참조각을 45도에 대하여 나타낼 수 있습니다 비슷한 방식으로 직각삼각형을 그립니다 빗변의 길이는 1입니다 여기 직각삼각형이 있다면 이 각은 45도입니다 이 각이 45도라면 이 각 또한 45도입니다 아주 비슷하게 생긴 삼각형이 만들어졌는데 사실 합동입니다 따라서 빗변이 1인 45-45-90 삼각형입니다 이 변의 길이는 √2/2이고 이 변의 길이는 √2/2이고 이 변의 길이도 √2/2 입니다 여기서 사용한 논리 그대로입니다 따라서 이를 바탕으로 따라서 이를 바탕으로 이 점의 좌표는 무엇일까요? x값을 구해봅시다 음의 방향으로 √2/2 입니다 원점에서 왼쪽으로 √2/2만큼 가야하므로 -√2/2 입니다 이 점의 좌표는 -√2/2 입니다 y값은 어떤가요? 원점으로부터 아래로 √2/2만큼 이동하므로 원점으로부터 아래로 √2/2만큼 이동하므로 마찬가지로 -√2/2 입니다 따라서 cosθ = -√2/2 이고 sinθ = -√2/2 입니다 sinθ = -√2/2 입니다 그러므로 이 점에서는 sinθ와 cosθ가 같습니다 두 값 모두 두 값 모두 -√2/2 입니다