삼각법의 문제 해결하기: 여각

나일 강이 범람했을 때 물은 기자의 피라미드를 제외하고는 모든 것을 뒤덮었습니다 탐험대가 수위측정을 위해 파견되었습니다 사람들은 수면 위로 나온 피라미드의 변이 72미터라는 것을 알아냈습니다 이 길이가 72미터라는 말입니다 사람들은 홍수가 나기 전의 피라미드 변의 길이가 180미터라는 것을 알고 있었습니다 자 이 전체 길이는 180미터입니다 피라미드의 높이가 139미터라는 것도 알고 있었습니다 자, 이것이 139미터입니다 그렇다면 땅에서부터 잰 물의 수위는 얼마일까요? 땅은 바로 여기 피라미드의 밑면에 위치합니다 사람들은 여기서부터의 물의 높이를 측정하려합니다 그게 이 바로 이 높이입니다 이제 이 길이를 h라고 하겠습니다 사람들은 h가 몇 미터인지 알아내고 싶어합니다 필요한 경우 답을 소숫점 두자리에서 반올림하겠습니다 우리가 알고 있는 것, 그리고 모르고 있는 것은 각각 무엇일까요? 이 작은 각을 세타(θ)라고 하겠습니다 여기 이 각은 직각입니다 따라서 피라미드의 밑면에 있는 이 각은 세타에 대한 식이 됩니다 90-(θ)가 됩니다 이 정보를 이용함으로써 여기 이 각 역시 θ가 됨을 알 수 있습니다 이게 이해가 되지 않는다면, 여기에 좀 더 자세히 그려서 설명하겠습니다 이 각이 90-θ가 되는 직각삼각형이 있을 때 여기 이 각은 어떻게 표현되는가를 알고 싶은 겁니다 이 것을 x라고 합시다 이 각은 x더하기 90 빼기 90 더하기 θ 가 됩니다 삼각형 세 각의 합이 180일 때 말입니다 자 그럼 양변에서 180을 빼보면 이건 100이 됩니다 양쪽에서 180을 빼면 x-θ가 0이란 식을 얻게 됩니다 혹은 양변에 θ를 더한다면 x=θ가 됩니다 그렇다면 이 각은 당연히 θ가 됩니다 이게 θ가 되겠습니다 또 우리가 아는 건 무엇일까요? 자, 우리는 이 것이 72라는 것을 압니다 또 이 변 전체는 180이라는 것을 알죠 이것이 72, 이 변 전체는 180입니다 물 밑에 잠김 변의 길이, 이 길이를 봅시다 이 길이를 간단하게 표현해 보겠습니다 검은색으로 하겠습니다 여기 이 길이는 108입니다 108 더하기 72는 180이 됩니다 이것이 무슨 도움이 될까요? 우리는 이 높이를 알아내야 합니다 우리는 이 것이 직각삼각형 이라는 것을 압니다 여기를 색펜으로 깔끔하게 표현하겠습니다 여기 이 노란색은 직각 삼각형입니다 이게 직각삼각형이고 이곳이 θ일때 우리가 h를 삼각비로 표현하여 구하려고 할때 우리는 여기 있는 길이가 h인 변이 인접변이라는 것을 압니다 길이가 108인 이 변은 제가 노란색으로 칠한 삼각형의 빗변이 됩니다 자, 어떤 삼각비가 인접변과 대변의 길이로 표현될까요? 자, SOHCAHTOA를 표현해보겠습니다 사인은 '대변/빗변'입니다 이 길이가 분자, 빗변이 분모로 나타낼 수 있습니다 코사인은 '인접변/빗변'입니다 우리는 cosθ가 우리가 구하려는 높이 h와 관련됨을 알았습니다 다시 표현하면 이 직각 삼각형의 인접변이 분모, 빗변의 길이, 즉 108이 분모가 되는 것입니다 하지만 우리는 cosθ가 무엇인지 모르기 때문에 이것을 아직 활용할 수 없습니다 여기에 단서가 있습니다 θ가 이것이라는 것 말입니다 자 이제 cosθ가 무엇인지 예측하고, h가 몇인지 알 수 있겠습니다 이 정보들을 볼때, cosθ는 얼마일까요? 자, 그럼 다른 직각 삼각형을 봅시다 우린 이 전체 삼각형을 보고 있습니다 이 큰 직각삼각형에서 cosθ는 무엇일까요? cosθ는, 다시 말하지만, 인접변/대변 입니다 여기서 인접변은 바로 이 길이입니다 우린 이것이 139미터라는 것을 이미 알고 있습니다 자, 이게 139미터가 됩니다 그렇다면 빗변의 길이는 얼마일까요? 빗변의 길이는 바로 이것, 72 더하기 108입니다 우린 이미 빗변의 길이를 계산했었습니다 180입니다 우리는 이것, 피라미드가 이등변삼각형이라고 가정할 수 있습니다 이쪽도 180, 이쪽도 180입니다 때문에 cos은 139/빗변, 139/180이 됩니다 이 두 값은 같은 값입니다 계산해보겠습니다 자, 우리는 cosθ가 h/108이고, 또한 139/180이라는 것을 알아냈습니다 h/108, 그리고 139/180 둘다 cosθ입니다 이제 h를 구하기 위해서 양변에 108을 곱하겠습니다 h는 139곱하기 108/180이 됩니다 계산기를 꺼내 입력해보겠습니다 h는 139곱하기 108, 나누기 180입니다 계산하면 83.4미터 입니다 자, h는 83.4미터입니다 수면은 83.4미터라는 것을 알아 냈습니다