코사인법칙 증명

지난 비디오에서 삼각형의 변을 구했습니다 직각삼각형은 피타고라스의 정리를 사용하지만 이것은 평범한 삼각형이였습니다 직각삼각형이 아니였습니다 SOHCAHTOA와 간단한 삼각함수를 이용하여 답을 찾았습니다 지금 여러분께 지난 비디오에서 증명을 했던 코사인의 법칙에 대해 소개하려고 합니다 단어문제 없이 코사인법칙을 알고 있으므로 지난번처럼 문제에 적용할 수 있고 좀 더 빨리 할 수 있습니다 저는 외우기를 잘못하기 때문에 약간 엇갈린 견해를 가지고 있습니다 40세가 되면 아마도 여러분은 코사인법칙을 여전히 외우지는 못할 겁니다 만약 삼각함수로 풀 수 있다면 항상 기억할 겁니다 삼각함수를 40세에도 할 수 있다면 대단한 겁니다 혹시 모르죠 코사인 법칙에 관해 알아 봅시다 이 각을 θ라 합시다 이 변을 b라고 부릅시다 임의의 값입니다 변과 같은 색으로 써 봅시다 이 변을 b라하고 이 변을 c라 하고 이 변은 a라고 합시다 이것이 직각삼각형이라면 삼각함수를 이용할 수 있지만 지금은 사용할 수 없습니다 어떻게 할까요? a와 b그리고 c와 θ를 안다고 가정하고 a를 구해 봅시다 이 세가지를 알고 있으면 코사인법칙을 알고 있으므로 네번째를 구할 수 있습니다 어떻게 할까요? 지난번 문제를 풀 때와 똑같이 해보겠습니다 여기서 선을 그을 수 있습니다 비뚤어졌네요 선긋기를 사용해보죠 지우고 이렇게 선을 긋습니다 2개의 직각삼각형이 생겼습니다 직각삼각형이 생겼으므로 삼각함수와 피타고라스의 정리를 사용할 수 있습니다 기타 등등 이것은 직각삼각형입니다 이 변은 무엇입니까? 다른 색을 써봅시다 너무 많은 색을 썼습니다 여러분의 이해에는 도움이 되겠죠 이 변은 무엇일까요? 이 보라색 변의 길이는 무엇입니까? 보라색 변은, sohcahtoa를 사용해서 여기에 sohcahtoa를 씁니다 이 보라색 변은 θ에 인접한 변이고 파란색 변 b는 직각삼각형의 빗변입니다 이제 한가지 색만 쓰겠습니다 색을 바꾸는데 시간이 너무 걸리니까요 cosθ는 이 변을 d라고 부릅시다 cosθ는 d/b와 같습니다 그렇죠? b를 압니다 d는 무엇과 같을까요? d는 b와 cosθ의 곱과 같습니다 이 변을 e라고 합시다 e는 무엇일까요? e는 이 전체 변c에서 변 d를 뺀 것입니다 맞죠? e는 c-d입니다 d를 찾았고 변 e는 c에서 b와 cosθ의 곱을 빼 것입니다 이것이 e입니다 e를 찾았습니다 이 빨간 변은 무엇일까요? 이 빨간 변을 m이라 합시다 m은 θ의 대변입니다 c를 구하기 위해, b를 압니다 m/b와 대변과 빗변은 어떤 관계일까요? 그것은 sin입니다 즉, 빗변에 대한 대변의 비입니다 m/b는 sinθ와 같습니다 여기서 써보겠습니다 b가 빗변이므로, m/b는 sinθ와 같고, m은 b와 sinθ의 곱과 같습니다 맞죠? m과 e의 값을 찾았습니다 a를 구해 봅시다 이 삼각형이 보일 겁니다 두개의 직각삼각형이 있습니다 빗변을 찾아봅시다 피타고라스의 정리를 이용할 수 있습니다 피타고라스의 정리에서 a의 제곱은 m의 제곱과 e제곱의 합과 같습니다 다른 두변의 제곱의 합입니다 m의 제곱과 e의 제곱의 합은 무엇입니까? 색을 바꿔 써봅시다 a의 제곱은 m의 제곱이고 m은 sinθ이므로 (b*sinθ)^2와 e제곱의 합입니다 e는 이 식입니다 (c-b*cosθ)^2을 더하면 됩니다 대수학을 적용시켜 봅시다 이것은 b^2와sin^2 θ의 곱과 같습니다 sin^2 θ는 sinθ의 제곱을 의미합니다 맞죠? 이것을 제곱하면 c^2-2cb*cosθ+b^2*cosθ^2가 됩니다 곱해서 식을 만들었습니다 좀 더 재미있는 식을 만들 수 있는 지 봅시다 이 식과 이 식에서 b제곱과 sinθ의 제곱의 곱에 더하기 b제곱과 여기는 제곱이 되어야 합니다 되어야 합니다 b제곱과 cosθ의 제곱의 곱을 더하고 2bc와 cosθ를 뺍니다 간단히 해볼까요? 이것은 b의제곱을 sinθ의 제곱과 cosθ의 제곱의 합이 됩니다 이 식에 c제곱을 더하고 2bc와 cosθ의 곱을 뺍니다 여기서 sinθ제곱과 cosθ제곱의 합은 1이 됩니다 이것은 이전에 증명했습니다 삼각함수 제곱 공식입니다 이 식은 1이 되고 원래 색을 쓰겠습니다 a제곱은 이 식이 1이 되기 때문에 b의 제곱과 c의 제곱의 합에 2bc와 cosθ의 곱을 뺀 것입니다 간단하죠 이것이 코사인법칙입니다 아주 유용한 식입니다 한 각을 알고 삼각형의 두 변의 길이를 안다면 나머지 한 변의 길을 구할 수 있습니다 또는 삼각형의 세변의 길이를 안다면 어떤 각의 크기라도 구할 수 있습니다 그래서 이 식이 유용합니다 여기서 여러분이 삼각법에서 문제를 푸는데, 이 식을 외워서 사용해야 합니다 그러면 답을 더 빨리 찾을 수 있습니다 저는 식이 어떻게 만들어 졌는지를 알지 않고 암기를 잘못합니다 1년 또는 2년이 지나 대학생이 되고 삼각법을 배우고 4년정도가 지나면 아마도 여러분을 이 식을 기억을 못할겁니다 갑자기 삼각법문제가 나오면 여기서 시작해서 푸는 게 낫습니다 이 코사인법칙을 사용하면 이 코사인법칙을 사용하면 여러분은 앞에서 본 것처럼 이 식을 대체해서 사용하면 문제를 더 빨리 풀 수 있었을 겁니다 다음 비디오에서 봅시다