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삼각함수 문제 해결하기: 기온에 대해 풀어보세요

동영상 대본

요하네스버그의 6월은 하루 최저기온이 약 3℃이고 하루 최고기온은 약 18℃입니다 보통 오전 10시와 오후 10시의 기온은 최저기온과 최고기온의 중간쯤 됩니다 오후에 최고기온이 됩니다 요하네스버그의 기온 T를 자정 이후 지난 시간 t로 나타내는 삼각함수를 쓰시오 그래프의 개형을 생각하면서 문제를 해결해봅시다 세로축을 온도축이라 합시다 단위는 ℃입니다 이 축은 온도를 의미하고 서로 다른 2개의 함수를 구하겠습니다 이 축은 온도축입니다 가로축은 1시간 단위의 시간축입니다 이 축은 t, 시간을 의미합니다 기온의 범위를 생각해봅시다 하루 최저기온은 약 3℃입니다 하루 최고기온은 18℃이므로 여기에 18을 쓰고 여기엔 3을 쓰겠습니다 다음으로 오전, 오후 10시의 기온인 18과 3의 중간값을 생각합니다 18 더하기 3은 21이고 2로 나누면 10.5입니다 중간값, 즉 삼각함수의 중앙선은 10.5℃가 됩니다 중앙선을 그려보겠습니다 함수는 중앙선을 중심으로 진동할 것입니다 하루 최고기온은 18℃입니다 최고기온이 18℃이고 최저기온은 3℃입니다 3℃입니다 중앙선을 중심으로 진동할 것입니다 최고점과 최저점에 도달할 것입니다 오전/오후 10시에 기온이 10.5℃가 됩니다 조금 더 간단히 해보겠습니다 문제에서 요구하는 자정 이후의 t시간을 바꾸지는 않겠습니다 새로운 함수를 정의하겠습니다 새로운 함수 F(t) t는 요하네스버그의 기온입니다 요하네스버그에서만 측정했다고 합시다 이 함수는 t시간 이후의 기온을 의미하며 t는 오전 10시부터 시작합니다 제가 오전 10시를 택한 이유는 이 시각의 기온이 중앙선에 있기 때문입니다 오전 10시부터 t시간입니다 F(t)의 그래프를 그릴 때 t가 0이면 오전 10시임을 의미합니다 즉 하루 최고,최저기온의 중간에 있음을 의미합니다 삼각함수의 주기는 어떻게 될까요? 24시간 이후 오전 10시가 되므로 한 주기는 24시간이 됩니다 여기에 24시간을 쓰고 중점은 12시간이 됩니다 12시간이 지나면 어떤 일이 일어날까요? 12시간이 지나면 오후 10시가 됩니다 중간에 도달했습니다 24시간이 지나면 다시 오전 10시가 됩니다 따라서 이 점들은 F(t)에 포함됩니다 오전 10시에 시작할 때 어떻게 되는지 생각해봅시다 오전 10시에 시작하고 시간이 지나면 가장 기온이 높은 시점은 오후입니다 오후는 이 정도 됩니다 그러므로 온도를 높여야 하고 이 두 점의 중간에서 최고점을 가지므로 시각은 오전 10시부터 6시간 뒤인 오후 4시입니다 오후 4시에 최고점을 가집니다 곡선을 그리겠습니다 이런 형태가 됩니다 이제 오후 10시에서 시작하고 6시간이 지나면 오전 4시, 즉 최저에 있게 됩니다 오전 10시부터 18시간이 지났으며 이 점에서 최저기온이 됩니다 곡선은 이러한 형태가 됩니다 함수 T(t)를 구하기 전에 정의역 밖에서 함수의 형태는 어떻게 될까요? 이 형태가 무한히 반복됩니다 F(t)는 어떻게 표현될까요? 잠시 영상을 멈추고 생각해 보기 바랍니다 한 가지 알 수 있는 것은 사인 또는 코사인 함수가 되면 어느 쪽으로든 생각해 볼 수 있지만 항상 가장 간단한 형태가 됩니다 둘 중 어떤 함수에서 입력값이 0일 때 중앙선에 위치할까요? sin0은 0이므로 함수를 위아래로 움직이지 않았다면 고정된 사인함수에서 중앙선은 0입니다 sin0, 즉 0에서 시작하고 증가하여 다음과 같이 진동합니다 사인 함수는 좋은 후보입니다 어느 함수로도 나타낼 수 있지만 사인 함수를 이용하면 더 간단해집니다 이제 진폭을 생각해봅시다 중앙선에서의 변화, 즉 중앙선에서 최대 변화폭은 얼마일까요? 중앙선보다 7.5 위에 있습니다 중앙선보다 7.5 아래에 있습니다 따라서 진폭은 7.5입니다 이 값을 알아보기 위해 다른 색을 쓰겠습니다 이 값도, 저 값도 7.5입니다 즉 진폭은 7.5입니다 주기는 얼마일까요? 앞에서 언급한대로 주기는 24시간입니다 이 거리는 24시간이며 이는 완전히 이치에 맞습니다 24시간이 지나면 하루의 같은 점에 오게 됩니다 2π를 주기인 24로 나누고 t를 곱합니다 2π를 주기로 나눈 후 상기해야 할 것은 t의 값입니다 t가 0이 되면 괄호 안의 값이 0이 되고 이때 이 점에 위치합니다 t가 24가 되면 괄호 안의 값은 2π가 됩니다 거의 해결했습니다 이 함수를 그래프로 그리면 중앙선이 0이 되겠지만 함수 전체가 10.5만큼 올라가 있습니다 즉 함수를 위로 10.5만큼 이동해야 합니다 우리는 이를 잘 나타내었고 보다 간단히 하기 위해 2π/24 대신 π/12로 쓰겠습니다 이 함수에서 나타내는 요하네스버그의 기온은 입력값 t가 오전 10시부터 지난 시간일 때입니다 이는 문제에서 요구하는 것이 아닙니다 자정부터 t시간이 지난 후의 온도를 구해야 합니다 T(t)는 어떻게 될까요? 함수를 약간 옮기겠습니다 여기에 써보겠습니다 함수 T(t) t는 자정 이후 지난 시간입니다 따라서 같은 진폭을 갖습니다 중앙선으로부터 변화폭이 변하지 않습니다 변하는 것과 변하지 않는 것을 확인하기 위해 같은 색을 쓰겠습니다 sin에 7.5를 곱합니다 괄호 안의 값은 2π/24 대신 π/12로 쓰겠습니다 t를 왼쪽, 또는 오른쪽으로 움직이겠습니다 사실 어느 방향으로 움직여도 되는데 주기함수이기 때문입니다 움직인 거리를 생각합시다 여기에 어떤 값을 더하거나 뺄 것입니다 양의 방향으로10.5만큼 움직이겠습니다 10.5를 더합니다 여러 방법으로 생각하면서 제가 움직이는 방향이 맞는지 확인합니다 오전 10시에는 이 점에 있습니다 t가 0이면 오전 10시부터 0시간이 지났습니다 이 함수에서 생각합시다 이 함수에서는 다음과 같이 쓰겠습니다 오전 10시는 자정부터 10시간이 지난 시각입니다 T(10), 즉 자정부터 10시간이 지난 시각에서 함숫값은 F(0)와 같아지는데 입력값이 오전 10시부터 지난 시간이기 때문입니다 이 값은 온도, 즉 오전 10시의 온도를 나타내며 이 값도 마찬가지입니다 T 함수의 입력값은 자정부터 지난 시간이기 때문이죠 이 값도 오전 10시의 온도를 의미합니다 우리는 T(10)과 F(0)가 같은 값임을 원합니다 다른 방법으로 F(0)에서 입력값은 0이 됩니다 즉 T가 10이 될 때 입력값이 0이 되기를 원합니다 어떻게 해야 할까요? 이 값은 t-10이 되며 T(10)을 구하기 위해서는 여기에 10을 대입하며 괄호 안이 0이 됩니다 즉 sin값이 0이 되며 10.5만 남게 되고 F(0)에서는 괄호 안이 0이 되고 남은 것은 10.5입니다 따라서 T(10)과 F(0)는 같습니다 그래프를 그리고자 한다면 이미 문제에 답한 것이 됩니다 여기에 10을 대입하면 sin의 입력값은 0이 되며 두 값은 같아집니다 이를 그래프로 그려봅시다 T(10)에서 함수 T를 그래프로 그리면 6과 12가 있으므로 10은 이 사이 어딘가에 있을 겁니다 T(10)은 F(0)와 같습니다 즉 이 점이 되고 전체 함수를 오른쪽으로 10만큼 이동시킵니다 이는 이치에 맞게 되는데 오전 10시는 자정보다 10시간 뒤이므로 같은 점에 오게 됩니다 즉 곡선의 모양은 오른쪽으로 10만큼 이동했으므로 곡선은 다음과 같이 됩니다 10만큼 이동했으므로 이 지점은 16시간이 되며 곡선은 이런 모양이 됩니다 물론 계속 진동할 것입니다 이 함수를 10만큼 이동했으며 입력값은 t에 t-10을 대입해 논리에 맞게 답을 구했습니다