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삼각함수 문제 해결하기: 연간 기온에 대해 풀어보세요

동영상 대본

문제: 칠레의 산티아고의 가장 더운 날은 1월 7일 이고 평균 섭씨 29도이다 일년 중 가장 추운 날은 평균 섭씨 14도입니다 1년을 365일로 하여 삼각함수를 이용해서 산티아고의 온도를 나타내세요 참고: 1월 7일은 산티아고에서 여름입니다 1월 7일에서 얼마나 지나야 봄의 첫 날인 섭씨 20도가 될까요? 두 부분으로 나누어 봅시다 먼저, 산티아고의 온도를 나타내는 삼각함수를 구해 봅시다 온도를 1월 7일로부터의 일수에 대한 함수로 나타낼 것입니다 온도를 1월 7일로부터의 일수에 대한 함수로 나타낼 것입니다 먼저 온도를 삼각함수로 표현해야 두 번째 질문인 "1월 7일로부터 얼마나 지나야 봄의 첫 날인 섭씨 20도가 될까요?" 에 답할 수 있습니다 일단 그래프를 그려보면 왜 문제에서 온도의 함수를 삼각함수로 표현했는지 알 수 있을 겁니다 왜냐하면 온도 변화는 반복되기 때문입니다 왜냐하면 온도 변화는 반복되기 때문입니다 사실, 여러분이 어떤 도시의 년간 온도 변화 그래프를 봐도 삼각함수처럼은 보이지 않을 겁니다 이 축은 일수를 나타냅니다 이 축은 일수를 나타냅니다 1월 7일 이후의 일수를 d 라고 합시다 그러면 이 점은 1월 7일이 됩니다 이 수직 축은 섭씨온도를 나타냅니다 섭씨온도를 나타냅니다 최대는 섭씨 29도라 할 수 있습니다 가장 더운 날입니다 원점이 0도라면 가장 추운 날은 이곳의 14도입니다 원점이 0도라면 가장 추운 날은 이곳의 14도입니다 그러면 온도는 이 두 값 사이에서 바뀌게 됩니다 문제에 나와있듯이 가장 더운 날은 섭씨 29도인 1월 7일입니다 그리고 가장 추운 날은 섭씨 14도가 됩니다 이렇게 됩니다 우리는 여기서 어느 날의 평균온도를 다루고 있는데 온도가 주기적이기 때문에 삼각함수로 다루는 것이 좋습니다 이 날이 1월 7일이면 365일이 지나면 다시 1월 17일이 됩니다 최대 평균온도가 29도라면 365일이 지난 뒤에도 평균온도가 29도가 될 것입니다 우리는 삼각함수를 그리고 있으므로 중간에서 최하점에 도달할 것입니다 그래서 중간점에서 이와 같이 최하점이 표현됩니다 그러면 이 함수는 다음과 같이 표현됩니다 그러면 이 함수는 다음과 같이 표현됩니다 여기 최하점을 그리고 이 점이 최대점이 됩니다 이 부근의 최대값입니다 괜찮네요 여기 최대점이 있고 이 둘을 이어야 합니다 여기 문제의 삼각함수의 한 주기를 그렸고 주기는 365일이 됩니다 365일이 지나면 같은 점에 있게 됩니다 같은 점에 있게 됩니다 여기서 해야 할 것은 이 그래프를 식으로 표현하는 것입니다 그래서, 이곳에 이 함수를 d 에 대한 T 의 함수라고 적습니다 이 함수가 어떤 삼각함수가 됨을 이용해서 T를 d 에 관한 함수로 나타내어야 합니다 아마 여러분은 이것을 보고 이 그래프는 코사인 곡선인 것 같은데 사인 곡선도 될 것 같아서 뭘 써야 되는지 질문할 수도 있어요 여러분은 어느 것을 써도 되지만 저는 항상 더 간단한 것을 좋아합니다 생각해보면 각도나 라디안에서 최고점에서 시작하는 삼각함수는 뭘까요? 코사인 0은 1이 됩니다 즉 코사인 그래프가 최고점에서 시작합니다 사인 0 은 0 이기 때문에 여기서는 코사인을 쓰겠습니다 사인 0 은 0 이기 때문에 여기서는 코사인을 쓰겠습니다 그러면, 온도의 일수에 관한 함수인데 이 코사인 함수에는 상수배가 있어야 합니다 그리고 코사인 함수에 괄호를 넣어야 합니다 아마 이 함수를 옮겨야 할 겁니다 어떻게 구해야 하는지 생각해 봅시다 여기서 기준선이 무엇일까요? 기준선은 곡선의 최댓값과 최솟값의 가운데에 있습니다 그래서 중간점을 그림으로 나타내면 이렇게 됩니다 그러면 이 선이 기준선이 됩니다 어떤 값을 가질까요? 29와 14의 평균은 29와 14를 더하고 2로 나누면 21.5도가 됩니다 그래서 이 선이 기준선이 되고 함수를 위로 옮겨야 합니다 만약 이 함수가 코사인함수라면 기준선은 0이 되는데, 이 함수는 21.5 도 이므로 +21.5 를 적겠습니다 이 값이 얼마나 위로 옮겼는지의 값입니다 그러면, 진폭은 얼마일까요? 이 함수의 진폭은 얼마나 기준선으로부터 벗어났는가 입니다 여기서 기준선으로 부터 7.5 떨어져 있으므로 7.5를 더해줍니다 마찬가지로 7.5 떨어져 있으므로 7.5를 빼줍니다 이 함수의 진폭은 7.5가 되고 기준선으로부터 최대 떨어진 거리도 7.5가 됩니다 7.5가 이 함수의 진폭입니다 코사인 함수에 들어가는 괄호에 대해서 생각해 봅시다 날짜에 대한 함수가 될겁니다 구하고자하는 것은 무엇일까요? 365일이 지났을 때 2파이가 되는 값이 필요합니다 그래서 d가 365가 되면 이 전체 값이 2파이가 되어야 합니다 그래서 2파이/365가 됩니다 여러분들은 공식으로 아시겠지만 저는 항상 잊어버리기 때문에 유도하려고 합니다 공식은 2파이를 주기로 나누는 것이고 어쨌든 생각해보면 "한 주기, 즉 365일 이후 이 값은 2파이가 되야 합니다 단위원에 대입해 보면 2파이/365인데, 365를 곱하면 이 값이 2파이가 됩니다" 첫 번째 문제에서 나왔던 결과와 같습니다 우리는 산티아고의 평균온도를 1월 7일 이후의 일수에 대한 함수로 나타내었습니다 다음 영상에서는 두 번째 문제를 풀어 보겠습니다 제가 힌트를 하나 드릴 테니 여러분이 다음 영상을 보기전에 미리 풀어보세요 문제에서 첫 번째 봄을 언급한 것에 대해 주목해주기 바랍니다