If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용
현재 시간:0:00전체 재생 길이:10:12

동영상 대본

이번 시간에 하고자 하는 것은 tan θ의 그래프와 친해지는 것입니다 우선 작은 단위원을 그려서 여러 가지 tan θ들의 모양을 볼 수 있게 하겠습니다 자 이게 y 축이고, 이게 x 축이라고 합시다 그리고 단위원은 아마 이렇게 생겼을 겁니다 우리는 이게 삼각함수를 단위원에서 새롭게 정의한 것이라는 것을 알고 있습니다 만약 우리가 한쪽이 양의 x 축이고 다른 쪽이 이렇게 생긴 각도 θ를 가지고 있다면 이쪽 반직선이 단위원과 만나는 점의 x좌표는 cos θ y좌표는 sin θ가 되니까 (cos θ, sin θ)가 될 겁니다 따라서 여기가 cos θ 여기는 sin θ가 될 겁니다 하지만 우리는 tan θ에 대해서 알고 싶습니다 우리는 tan θ는 sin θ/cos θ임을 알고 있습니다 만약 원점에서 시작한다면 x좌표 값과 y좌표 값을 가져와서 y좌표 값을 x좌표 값으로 나눈 것 즉 이 직선의 기울기와 같다는 것을 알 수 있습니다 이것은 Δ y, 이건 Δ x가 될 겁니다 그리고 이것은 이 반직선의 기울기가 될 겁니다 이건 다양한 tan θ들의 형태를 그리는데 도움을 줄 겁니다 칠판을 좀 지우도록 하겠습니다 계속하도록 합시다 자 이제 표를 만들어 보겠습니다 다양한 θ에 따라 tan θ값은 어떻게 변할지 살펴봅시다 만약 θ가 0라디안이라면 이 반직선의 기울기는 0이 될 겁니다 x가 바뀌어도 y는 변하지 않습니다 이제 몇 가지 매우 쉬운 θ들을 골라서 tan θ값을 살펴보도록 하겠습니다 이 값들은 tan θ의 그래프를 그리는데 도움을 줄 것입니다 π/4를 가져와봅시다 이 각도는 π/4 라디안이 되겠죠 더 쉽게 하기 위해서 라디안 대신 '도'를 써보면 45도가 됩니다 따라서 x좌표와 y좌표가 같습니다 2의 제곱근을 2로 나눈 것과 같습니다 하지만 여기서 중요한 건 x좌표가 얼마가 변하던 y좌표도 똑같이 변한다는 것입니다 따라서 이 직선의 기울기는 1이 될 겁니다 즉 tan θ가 1이 됩니다 sin θ를 cos θ로 나눠도 1이 나올 겁니다 이 단위원을 계속 사용할 것이기 때문에 조금 지우고 가겠습니다 θ가 π/4 라디안이라면 tan θ는 1이 됩니다 만약 θ가 -π/4 라디안이 된다면 이렇게 될 것입니다 여기에 작은 삼각형을 그려보겠습니다 그러면 여기 x좌표는 제곱근 2를 2로 나눈 값이라는 건 이미 알고 있을 겁니다 여기서 θ는 -π/4 라디안이죠 만약 '도'를 써본다면 -45도가 되겠죠 그리고 sin θ와 cos θ는 서로 반대(음수)가 될 겁니다 cos θ는 교점의 x좌표로써 제곱근 2를 2로 나눈 값이 될 겁니다 y좌표는 그 반대가 되니까 -제곱근 2를 2로 나눈 수가 될 겁니다 그럼 tan θ는 sin θ/cos θ가 되니까 -1이 되겠죠 x좌표를 얼마나 움직이든 y좌표는 그 반대로 움직입니다 이 단위원을 계속 사용할 것이기 때문에 조금 정리하겠습니다 계속하도록 합시다 그래서 이건 -1이 될 겁니다 이제 점들을 그래프로 옮겨봅시다 이 x축을 θ 축이라고 가정한다면 y 축은 tan θ 축이 될 겁니다 우리는 tan0이 0이 되는 것을 알 수 있고 tan(π/4)는 1이며 tan(-π/4)는 -1이 됨을 알 수 있습니다 이것만 본다면 이 그래프는 직선이라고 할 수도 있겠지만 θ가 π/2에 가까워지면서 이게 직선이 아님을 분명히 알게 될 겁니다 이 직선의 기울기를 잘 봅시다 θ가 계속해서 π/2에 가까워진다면 이 반직선의 기울기는 계속해서 커지다가 수직에 가까워집니다 그리고 π/2에 다다르게 되면 이 반직선의 기울기는 정의할 수 없지만 너무나도 커져서 거의 무한대에 가깝다고 할 수 있을 겁니다 이제 그래프로 넘어와서 ㅠ/2 위치에다가 세로로 점근선을 그리겠습니다 무한대에 계속해서 가까워지게 되면 그래프는 이렇게 될 것입니다 θ가 π/2에 가까워질 수록 이 반직선의 기울기는 무한대에 가까워질 것입니다 만약 θ가 -π/2에 가까워지게 된다면 반직선의 기울기는 점점 더 감소하게 될 겁니다 계속해서 감소하여 음의 무한대에 가까워질 것입니다 이제 그래프에 그려보도록 하겠습니다 이번에도 정확히 정의할 수 없기 때문에 세로로 점근선을 그어보겠습니다 그리고 음의 무한대로 향하도록 그려보겠습니다 이게 tan θ의 그래프입니다 단, 이 범위에 한해서입니다 하지만 우리는 그래프를 계속해서 그릴 수 있는데 그 이유는 만약 우리가 π/2를 넘었다면 아주 조금 넘었다면 이 반직선의 기울기는 얼마일까요? 이 경우 기울기는 매우 작을 겁니다 거의 이 반직선처럼 매우 작은 음수입니다 따라서 그래프는 다시 음의 무한대에서부터 시작합니다 그리고 θ를 점점 증가시키게 되면 값이 점점 커지다가 결국 이 각도에 다다르게 되는데 이 각도는 얼마일까요? 여기 이 각도를 3π/4라고 가정합시다 왜 3π/4이냐면 이 각도는 π/2에 π/4를 더한 값이기 때문입니다 따라서 3π/4가 나오게 됩니다 이게 흥미로운 이유는 이게 또 다른 π/4, π/4, π/2 삼각형을 이루고 있기 때문입니다 다르게 말하면 45도, 45도, 90도 삼각형입니다 x좌표와 y좌표가 같은 크기를 가지고 있습니다 하지만 이제 x좌표는 음수가 되고 y좌표는 양수가 됩니다 따라서 이 기울기는 -π/4에서의 기울기와 같아져서 -1이 될 것입니다 이번에는 θ를 π까지 증가시켜 봅시다 그러면 기울기는 0이 됩니다 π/4만큼 더 증가시켜 보면 기울기는 다시 양수가 됩니다 다시 3π/2만큼 증가시켜 보면 기울기는 점점 더 커지다가 양의 무한대에 다다르게 됩니다 여기서는 x좌표를 조금만 움직여도 y좌표를 매우 많이 움직여야 합니다 따라서 그래프는 다시 이렇게 될 것입니다 보기 좋게 다른 색으로 그려보면 이렇게 될 것입니다 이건 π 라디안마다 계속해서 이렇게 반복하게 될 겁니다 여기도 점근선이 이렇게 있을 거고 따라서 tan θ의 그래프는 이렇게 생기게 될 겁니다 그리고 우리는 양쪽 방향으로 계속해서 이런 그래프 형태를 보일 것이라는 걸 알 수 있습니다