탄젠트 정리: 대칭성

이전 강의에서는 sin과 cos의 관계를 알았습니다 각의 반직선을 하나 잡은 다음 x, y축 또는 둘 다에 대칭시킵니다 여기서 제가 하고 싶은 것은 지금 있는 각도들의 tan를 생각해보는 것입니다 앞에서 했던 것을 다시 생각해봅시다 tan θ는 cos θ를 sin θ으로 나눈 것입니다 tan θ는 cos θ를 sin θ으로 나눈 것입니다 단위원의 정의에 의해 이렇게 말할 수 있습니다 이 반직선의 기울기는 무엇일까요? 우리는 기울기가 변화율임을 알고 있습니다 그것은 수직 변화량을 수평 변화량으로 나눈 것입니다 원점에서 시작하면 0에서 sinθ까지 갈 때의 수직 변화량은 얼마일까요? 수직 변화량은 sinθ입니다 수평 변화량은 얼마일까요? 그것은 cosθ입니다 즉 이것은 반직선의 y의 변화량/x의 변화량입니다 즉 tan θ는 sin θ/cos θ이며 반직선의 기울기임을 확인할 수 있습니다 어떤 다른 각들이 같은 tan θ 값을 갖는지 생각해봅시다 어떤 다른 각들이 같은 tan θ 값을 갖는지 생각해봅시다 이 반직선은 녹색 선과 동일 선상에 있습니다 이 각의 tan 값은 이 분홍색 각 말입니다 tan(π + θ)입니다 tan(θ + π)라고 할 수도 있고요 확실히 π + θ 대신 θ + π로 많이 씁니다 앞서 기울기에 언급한 것에 의하여 이것은 tanθ와 같습니다 이를 확인해 봅시다 각의 tan 값이 반직선의 기울기와 같다는 것에 동의하면 둘은 같습니다 같다는 것에 동의하면 둘은 같습니다 물론 반대편의 각 역시 우리가 정한 규칙에 의해 양의 x축에서 생각할 수 있습니다 tan(θ + π)를 sin과 cos의 관점에서 생각해 봅시다 분홍색으로 쓰겠습니다 분홍색으로 쓰겠습니다 분홍색이 아니군요 tan(θ + π)는 애매함을 피할 수 있도록 괄호를 씁시다 sin(π+θ) 또는 sin(θ+π) /cos(θ+π)와 같습니다 이전 강의에서 우리는 sin(θ + π)가 -sin θ와 같다고 정의했습니다 sin(θ + π)가 -sin θ와 같다고 정의했습니다 즉 이것은 -sin θ와 같습니다 cos(θ + π)는 -cos θ와 같은 값이라는 것을 이미 정의했습니다 같은 값이라는 것을 이미 정의했습니다 음수를 음수로 나누면 -부호가 지워지며 sin θ / cos θ가 남습니다 정말로 tan θ입니다 기분 좋게 확인할 수 있습니다 이 점들, 또는 반직선들은 어떻게 될까요? 이 점을 생각해봅시다 tan(-θ)는 어떻게 될까요? 우리는 tan(-θ)가 sin(-θ)/ cos(-θ)임을 알고 있습니다 sin(-θ)/ cos(-θ)임을 알고 있습니다 또 sin(-θ)가 -sin θ라는 것도 알고 있습니다 또 sin(-θ)가 -sin θ라는 것도 알고 있습니다 이 반직선에서 보면 sin(-θ)입니다 이것은 sinθ와 반대이므로 음수임을 확인할 수 있습니다 그러나 cos(-θ)는 cosθ와 같은 값을 가지므로 둘은 같습니다 이제 -sin θ/cos θ가 남았습니다 이제 -sin θ/cos θ가 남았습니다 이는 -tan θ와 같습니다 즉 음의 각을 잡으면 음의 tan값을 얻을 수 있습니다 이는 우리가 정의한 tan에서 sin, 즉 분자는 부호가 변하지만 분모는 변하지 않기 때문입니다 즉 tan(-θ)는 -tan θ와 같습니다 이제, 이 점은 어떨까요? 여기 θ와 비교해봅시다 π - θ에서 보면 tan(π - θ)가 sin(π - θ)/ cos(π - θ)임을 알 수 있습니다 이전 강의에서 이미 정한 것처럼 sin(π - θ)는 sin θ와 같습니다 여기를 보면 두 각은 같은 sin값을 가집니다 즉 sin θ로 같게 됩니다 cos(π - θ)의 경우 cos θ의 반대입니다 이것은 -cos θ입니다 다시 계산을 해주면 -sin θ/ cos θ 또는 -tan θ가 됩니다 -tan θ가 이해하기 좋겠습니다 이 반직선은 파란 반직선과 기울기가 같게 됩니다 반직선의 기울기를 보면 -tan θ임을 알 수 있습니다 이 2개의 반직선을 봅시다 두 반직선을 합하면 2개의 교차선들은 서로에 대해 음의 기울기를 가지며 x축 대칭입니다 방금 우리가 본 것처럼 어떤 각을 잡고 π를 더하면 tan값은 변하지 않는데 이는 근본적으로 같은 선에 있기 때문입니다 임의의 각에 π를 더하면 180도 회전합니다 방향은 반대가 되지만 반직선의 기울기는 일정합니다 즉 tan θ는 tan(θ + π)와 같습니다 하지만 같은 크기의 음의 각을 잡으면 tan값도 음수가 됩니다 여기에 가기 위해 π - 처음 잡은 각을 더하면 tan값은 구한 tan값의 음수가 됩니다 다행히 지금까지 한 것들은 삼각법 문제들을 풀거나 관계들을 찾거나 식들을 찾거나 증명할 때 약간의 도움을 줍니다 근본적으로 우리가 한 것은 식들을 증명한 것이지만 단위원에서의 대칭을 생각하는데 도움을 줍니다