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삼각법 심화문제: 연립방정식

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Ө가 0과 π사이의 값을 가질때 다음 식들을 만족하는 모든 Ө의 값을 구해봅시다 식을 살펴보면 다음과 같습니다 다음과 같습니다 다음과 같습니다 다음과 같습니다 다음과 같습니다 이 식들은 (x0,y0,z0)를 해로 가집니다 또한 y0z0는 0이 아닌 것을 통해 y0,z0는 0이 아님을 알 수 있습니다 이 식은 굉장히 복잡해 보입니다. 이 조건들을 최대한 단순화 시켜보겠습니다 지금부터 두가지를 해볼 것입니다 여기에 주어진 모든 삼각부등식들은 sin3Ө cos3Ө를 포함하고 있고 Ө는 0과 π 사이의 값을 가집니다 이제 치환을 해보겠습니다 단순히 제 논리를 단순화 시키기 위해 하는 것입니다 이제 치환해봅시다 u=3Ө라고 해봅시다 u=3Ө라고 해봅시다 Ө가 0이면 u는 0이기 때문에 u는 0보다 큰 값을 가질 것입니다 Ө가 π이면 u는 3π이므로 u는 3π보다 작은 값을 가질 것입니다 그럼 이제 0과 3π 사이의 값을 가지는 u를 구해봅시다 u로 치환했을때의 식들을 만족해야 합니다 u로 치환했을때의 식들을 만족해야 합니다 치환을 한 후에 식들이 비슷한 형태를 지니도록 배열합니다 그리고 식이 우리가 조작할 수 있는 형태를 지니게 되었는지 살펴봅니다 다음으로 소거할 수 있는 항들을 제거합니다 첫번째 식에 대해 우리가 알아볼 수 있는 항으로 바꾸기 위해서 cos3Ө를 분배합니다 이는 우리가 앞서 치환한 바에 의해 cos u와 같습니다 나머지도 모두 u로 치환합니다 나머지도 모두 u로 치환합니다 cos u를 분배해주고 y를 앞쪽으로 이동시켜 주면 다음과 같은 식이 됩니다 이 것이 첫번째 식입니다 두번째 식은 다음과 같이 생겼습니다 양 변에 yz를 곱해줍니다 그러면 우리는 우변에 xyz sin u 항을 얻을 수 있습니다 그리고 이 항은 여기 이 항과 같은 항입니다 그러므로 양변에 yz를 곱해봅시다 그러므로 양변에 yz를 곱해봅시다 그러므로 양변에 yz를 곱해봅시다 이에 따라 분모가 없어집니다 우변에 yz를 곱합니다 좌변의 항은 xyz sin u 가 됩니다 여기에 식을 써봅시다 계산해 보면 식은 다음과 같습니다 계산해 보면 식은 다음과 같습니다 계산해 보면 식은 다음과 같습니다 이 식은 주어진 식에서 우변과 좌변의 순서를 바꾼 것입니다 yz에 2sin u를 곱하면 2y sin u가 됩니다 2y sin u가 됩니다 따라서 이 것이 2번째 식이 됩니다 이제는 식들이 많이 달라 보이지 않습니다 이렇게 적혀있었을 때는 매우 달라 보였는데 말이죠 이제 이 식에 대해 생각해보겠습니다 이 변은 xyz sin u 입니다 이 색으로 설명해보겠습니다 이제 식을 이 쪽에 써보겠습니다 식은 다음과 같습니다 여기서는 z의 계수가 2입니다 cos u를 분배해보겠습니다 2z cos u 더하기 y cos u 가 됩니다 2z cos u 더하기 y cos u 가 됩니다 이 식에는 y cos u 항이 있습니다 이 변은 다음과 같은 식을 가집니다 식을 써보겠습니다 (=가 아니라 + 입니다) 이제 세 개의 식을 모두 정리하였습니다 처음에 비해 문제가 훨씬 쉬워보입니다 이제 0과 3π 사이의 값을 가지고 모든 조건들을 만족하는 u, 즉 해들을 구해 봅시다 여기 세 개의 식들은 우변이 모두 동일합니다 이제 좌변을 살펴보면 우변이 모두 같기 때문에 좌변 또한 같은 값을 가져야 합니다 이제 어떤 항들을 소거할 수 있을지 알아봅시다 이제 어떤 항들을 소거할 수 있을지 알아봅시다 이 식을 잘못 적었습니다 =이 아니라 +가 맞습니다 이 두 식은 같은 식입니다 따라서 두 식을 먼저 써보도록 하겠습니다 이 (파란색 식의 좌변은) 이 (파란색 식의 좌변은) (파란색 식의 우변)과 같고, 이는 결국 (분홍색 식의 좌변,우변)과 같다 (파란색 식의 우변)과 같고, 이는 결국 (분홍색 식의 좌변,우변)과 같다 (파란색 식의 우변)과 같고, 이는 결국 (분홍색 식의 좌변,우변)과 같다 양 변에 2z cos u가 공통으로 있으므로 이 항을 소거해 줍니다 또한 2y sin u, y sin u 항이 있으므로 양 변에 y sin u를 빼주면 y sin u가 남게 됩니다 양 변에 y sin u를 빼주면 2y sin u 빼기 y sin u 이므로 y sin u가 됩니다 그리고 이 항은 y cos u와 같게 됩니다 이 식의 해를 찾기 위해서는 이 식의 해를 찾기 위해서는 y가 0이 될 수 없음을 기억해야 합니다 이 식이 해를 가지기 위해서는 y의 계수가 서로 같아야 합니다 따라서 sin u는 cos u와 같은 값을 가져야 합니다 따라서 sin u는 cos u와 같은 값을 가져야 합니다 이 것이 첫번째 조건입니다 sin u = cos u 이제 단위원을 생각해 봅시다 그리고 0과 3π 사이에서 sin 값과 cos 값이 몇 번 같아질 수 있는지 생각해봅시다 단위원을 그려봅시다 확실히 45도 에서는 sin 값과 cos 값이 같아집니다 여기에서 45도는 π/4와 같습니다 여기에서는 sin 값과 cos 값이 같습니다 여러분은 여기에서도 마찬가지일 것이라고 생각할 수 있겠지만 여기에서의 cos 값은 음수이고 sin 값은 양수이므로 같을 수 없습니다 이 각도에서는 sin 값과 cos 값 모두 음수이고, 같은 값을 가집니다 따라서 이 각도 하나의 해가 되겠습니다 이 각도는 해가 될 수 없습니다 지금까지 우리는 2π까지의 값들에 대해 생각해 보았습니다 이제 3π까지 반바퀴를 더 생각해봅시다 다시 이 곳으로 돌아갑시다 그러면 이 값을 다시 만나게 됩니다 결국 해를 구해보면 첫번째 바퀴에서 2개 다시 돌아와서 1개가 있고, 이 값은 가질 수 없습니다 왜냐하면, 다른 색을 사용해 설명해 보겠습니다 Ө는 3π까지의 값 만을 가질 수 있기 때문입니다 3π는 한 바퀴 반에 해당합니다 3π는 한 바퀴 반에 해당합니다 따라서 총 3개의 해가 존재합니다 즉, 가능한 u 값은 총 3개입니다 파란색 식과 분홍색 식에서 나온 조건만 사용하면 총 3개가 가능합니다 이제 이 식에서는 더 이상의 조건을 얻을 수 없습니다 이제 이 식에서는 더 이상의 조건을 얻을 수 없습니다 이제 이 식에서는 더 이상의 조건을 얻을 수 없습니다 이제 다른 식 2개를 사용하여 조건을 얻을 수 있을지 살펴봅시다 제가 사용할 식은 소거가 가능할 것으로 보이는 식입니다 이 식들을 이용하면 될 것 같습니다 이 식들을 이용하면 될 것 같습니다 이 식들을 이용하면 될 것 같습니다 이 식들을 이용하면 될 것 같습니다 우리는 3개의 식을 모두 적절히 이용하여 해를 찾아야 합니다 조건을 모두 성립하는 해를 찾을 것입니다 이 식을 생각해봅시다 우 변이 같으므로 이 네개의 항은 모두 같습니다 따라서 우리는 초록색 식의 좌변이 분홍색 식의 좌변과 같다고 할 수 있습니다 분홍색 식의 좌변과 같다고 할 수 있습니다 y cos u가 양변에 있기 때문에 이 항을 소거해 줄 수 있습니다 양 변에 z cos u를 빼주면 양 변에 z cos u를 빼주면 다음 식을 얻을 수 있습니다 다음 식을 얻을 수 있습니다 이 식은 사용하기 상당히 편리한 식으로 보입니다 y sin u + z cos u = 0 이 식에서 생각해 보아야 할 점이 있습니다 이 식은 2배를 해도 마찬가지로 0의 값을 가질 것입니다 2배를 해주면 다음과 같은 식이 나옵니다 제가 이 식에 2를 곱한 것은 이 식과 같은 형태의 식을 만들기 위해서 입니다 따라서 이 두식을 사용하면 조건들로 부터 이 좌변의 값이 0이 되어야 하고 우변의 값도 0이 되어야 함을 알 수 있습니다 이 식에서 sin u가 0이 될 수도 있고 x가 0이 될 수도 있습니다 문제에서 x값에 대해서는 어떠한 제약도 두지 않았습니다 x가 0이 될 수도 있습니다 x가 0이 될 수도 있습니다 x가 0이 되면 이 식이 0의 값을 가지게 됩니다 이 것이 다른 조건들에 영향을 주지는 않습니다 결국 우리는 문제에 주어진 모든 조건을 사용하였습니다 우리는 세 개의 식을 모두 사용하였습니다 모든 조건을 만족하는 세 식의 교집합을 찾기 위해서 말입니다 모든 조건을 만족하는 세 식의 교집합을 찾기 위해서 말입니다 결국 유일한 조건은 sin u와 cos u가 같아야 한다는 것입니다 이 조건에서 3개의 가능한 0과 3π사이의 u 값을 구할 수 있습니다