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삼각법 심화문제: 등차수열

동영상 대본

삼각형의 세 각 A, B, C이 등차수열이고 소문자 a, b, c가 각각 대변의 길이를 나타내고 대문자 A, B, C는 각을 나타낼때, 이 값은 무엇인가 구해봅시다 모든 문자를 시각화하기 위해 삼각형을 그립시다 각 A, B, C가 있습니다 그림을 이와 같이 그리고 각 A 각 B 각 C가 있고 대변들은 소문자입니다 각 A의 대변은 a이고 각 B의 대변은 b 각 C의 대변은 c입니다. 주어진 첫번째 정보는 각 A, B, C들은 등차수열이라는 것입니다 등차 수열은 어려운 단어입니다 모든 등차수열은 같은 간격만큼 떨어진 숫자들의 나열입니다 예를 들면 1, 2, 3은등차수열입니다 2, 4, 6은 등차가 2인 등차수열입니다 10, 20, 30도 등차수열입니다 이 모든 것은 등차수열입니다 이들이 말하는 것은 각 A와 각 B의 차이와 각 B와 각 C의 차이와 같다는 것입니다 이들은 각들에 대해 아무것도 말해주지 않습니다 각 A가 있다면 각 B는 A에 어떤 상수를 더한 것과 같습니다 이 상수는 1, 2, 10 어떤 것이든 가능합니다 상수의 값을 모르기 때문에, A+N이라 합시다 이제 각 C는 B+N입니다 B=A+N이므로 C는 A+N +N과 같습니다 즉 A 더하기 2N입니다 우리가 삼각형의 세 각에 대해 아는 또 다른 사실은 세 각을 더하면 180도라는 것입니다 A, B, C를 더하면 180도여야 합니다 직접 더해봅시다 A+A+N+A+2N은 180도입니다 3개의 A와 3개의 N을 더하면 180도입니다 양변을 3으로 나누면 A+N이 60도가 됩니다 이로부터 알수 있는 것은 A는 아무 수는 가능하다는 것입니다 N이 1이면 A는 59입니다 만약 N이 10이면 A는 50입니다 따라서 각 A에 대해서는 많은 정보를 주지는 않습니다 그러나 잘보면 A+N이 있습니다 B=A+N인데 A+N은 60도입니다 첫번째 정보를 이용하면 명확한 사실을 알 수 있습니다 B는 60도이고 숫자들은 59 60 61이 될 수 있습니다 이는 등차수열입니다 B는 중간의 수이므로 50 60 70도 가능합니다 40 60 80도 가능합니다 어떤 등차수열이든 관계없이 세 각의 합은 180도여야 하고 중간의 값은 60도여야 합니다 문제의 다음 부분으로 넘어갑시다 문제의 다음 부분을 위해 칠판을 지웁시다 우리는 a/c 곱하기 sin2C 더하기 c/a 곱하기 sin2A를 구해야합니다 a/c a/c sin2C +c/a sin2A 이 값은 뭘까요? 이렇게 2C, 2A를 보았을때 우리가 할 수 있는 최선의 방법은 유용할 것 같은 삼각함수의 성질들을 활용해보는 것입니다 첫번째 정보는 B가 무엇인지 알려줬습니다 B는 B에 관련된 정보를 찾았지만 여기에는 B가 없습니다 정보가 쓸모없어 보일 수 있지만 이를 B에 관한 식으로 바꾼다면 B에 대한 정보를 이용할 수 있습니다 한번 해봅시다 제일 먼저 sin2A를 다시 써봅시다 sin2C는 다음과 같습니다 sin 2배각 공식을 사용하면 실제 공식의 이름은 잘 모르겠지만 sin2C는 2 sinC 곱하기 cosC가 됩니다 이는 삼각함수 책과 미적분학책에도 나옵니다 같은 공식에 의해 sin2A는 2 sinA cosA입니다 이는 기본적인 삼각함수 성질입니다 삼각함수에서 여러번 사용합니다 우리는 앞에 a/c라는 계수가 있습니다 더하기 c/a입니다 우리는 마음속에 어떻게 B가 60도라는 사실을 사용할 수 있는지 생각해야합니다 어떻게 B에 관련된 형태로 나타낼지 생각해봅시다 B를 이 식에서 쓰기 위해, 삼각형의 변과 관련되고 직삼각형이 아닐때도 쓸수 있는 sin법칙과 cos법칙을 이용할 것입니다 sin법칙을 다시 써봅시다 sin법칙은 sinA/a가 sinB/b, sinC/c와 같다는 법칙입니다 아마 sin법칙을 이용할 것입니다 cos법칙도 적어봅시다 cos법칙은 이는 직각삼각형이 아닐때도 쓸 수 있는 피타고라스 정리 같습니다 c^2은 a^2+b^2 빼기 2abcosC입니다 우리는 sin법칙과 cos법칙을 이용해 준 식을 어떻게 우리가 아는 B에 관련된 식으로 바꿀지 생각해야합니다 제일 먼저 sinC/c와 sinA/a를 다시 쓸 수 있습니다 2a 2a cosC를 따로 쓰면 2a cos cosC 곱하기 sinC/c 곱하기 sinC 나누기 소문자 c입니다 더하기 같은 방식으로, 이들을 묶어내주면 됩니다 sin을 바꾸고 싶기때문에 관계없는 것은 묶어냅니다 더하기 2c cosA 곱하기 sinA/a 곱하기 sinA 나누기 소문자 a가 됩니다 sin법칙을 보면 sinC/c와 sinA/a가 둘 다 sinB/b와 같습니다 우리는 B에 관련된 정보를 알기 때문에 B에 관계된 식으로 바꿉니다 이는 sinB/b로 다시 쓸 수 있습니다 이는 sinB/b와 같습니다 이것도 마찬가지로 sinB/b입니다 둘다 곱해져 있습니다 둘 다 앞에 계수들이 곱해져 있습니다 2acosC 곱하기 sinB/b 더하기 2c 곱하기 cosA 곱하기 sinB/b입니다 sinB/b를 묶어낼 수 있습니다 이를 다시 쓰면 이는 2a 2a 다음 스텝을 위해 공간을 비워둡시다 2acosC 더하기 2c 곱하기 cosA 이 모든 것에 이 모든 것 곱하기 sin sinB/b를 곱한 것과 같습니다 우리는 B가 60도인걸 알기 때문에 sinB를 계산할 수 있습니다 그러나 먼저 앞에 부분을 B의 관한 식으로 나타내봅시다 2acosC와 2ccosA는 이것은 이 부분과 굉장히 비슷해보입니다 cos법칙의 일부와 비슷하게 생겼습니다 cos법칙의 이 부분을 풀어봅시다 한 번 해봅시다 만약 양변에 2abcosC를 더하면 2abcosC 더하기 c^2은 a^2+b^2과 같습니다 c^2을 양변에서 빼면 2ab cosC는 a^2+b^2 -c^2과 같습니다 나중에 문자들을 바꿀수 있습니다 이는 2acosC와 굉장히 비슷하고 2ccosA는 c와 a의 자리를 바꾸면 비슷합니다 다시 쓰면 이 식에서 다시 써보면 2 2cb a와 c들의 자리를 바꿔보면 2cbcosA는 c^2+b^2 -a^2입니다 이는 모든 변에 대해 적용할 수 있습니다 대문자 C가 있다면, a와 b를 앞에 적어 a^2+b^2-c^2이 되고, 만약 대문자 A가 있다면 c와 b가 앞에 있고 a^2을 빼줍니다 이는 굉장히 유용합니다 왜냐하면 b를 곱하면 매우 비슷하게 생겼기 때문입니다 b를 곱해줍시다 b를 전체 분자에 곱해줍니다 여기도 b 여기도 b를 써줍니다 임의로 b를 곱했기 때문에 값이 바뀌었습니다 우리는 b를 곱해주었으므로 b를 다시 나누어줘야 합니다 b를 나누는 것은 분모에 b를 곱하는 것과 같습니다 분모는 b^2이 아닙니다 b를 나누는 것은 분모에 b를 곱하는 것과 같습니다 b를 곱한 후 다시 b를 나눠줬으므로 같은 값입니다 b*b는 b^2으로 바꿀 수 있습니다 이를 통해 알 수 있는 것은 이 항은 위에 구한 식과 일치한다는 것입니다 이것은 a^2+b^2-c^2입니다 여기 있는 이 항 또한 오른쪽 위에 구한 식과 일치합니다 cos법칙을 이용하면 이것은 c^2+b^2 -a^2입니다 이 모든 것에 sinB/b^2을 곱하면 됩니다 a^2과 -a^2은 간단히 할 수 있습니다 a^2-a^2은 지워집니다 c^2과 -c^2도 지워집니다 남은 것은 2b^2입니다 전체 식은 2b^2sinB sinB 나누기 b^2입니다 b^2은 약분됩니다 결국 준 식은 2sinB가 되고 우리는 B가 60도임을 알기 때문에 이는 2sin60도와 같습니다 만약 sin60도를 외우고 있지 않다면 30, 60, 90도 삼각형을 그려 구하면 됩니다 그려봅시다 여기는 직각 여기는 60도입니다 빗변의 길이가 1이면 이각은 30도입니다 30도의 대변은 1/2이고 60도의 대변은 √3/2입니다 피타고라스 정리를 이용하면 둘 중 하나만 알면 나머지 한 변을 구할 수 있습니다 sin은 대변/빗변이므로 √3/2 나누기 1입니다 즉 √3/2이고, 준식은 2를 곱하면 됩니다 굉장히 흥미롭습니다 √3/2과 2는 약분되고 √3만 남습니다 이 깔끔한 문제는 인도에서 공학과 과학으로 가기 어려운 대학인 2010년 IIT 입학시험에 출제된 문제입니다 이 문제는 수백명의 아이들에게 출제됬고 높은 수준인 2000명 정도의 학생이 이 아이디어를 생각해냈습니다 어찌됐든 굉장히 깔끔한 문제였습니다