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주요 내용
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동영상 대본

1을 sin^2(θ) +3sinθcosθ +5cos^2(θ)로 나눈 최댓값은 무엇입니까? 다시 써봅시다 이것은 1을 sin^2(θ)가 있습니다 그리고 제 기억상 sin^2(θ)가 있으면 항상 cos^2(θ)를 찾습니다 왜냐하면 그 둘의 합은 1이기 때문입니다 그리고 cos^2(θ)가 오직 하나만 있지는 않습니다 5개가 있습니다 그중 하나를 빼겠습니다 +cos^2(θ)가 있습니다 하나를 뺐기 때문에 4개가 남았습니다 +4cos^2(θ)입니다 그리고 이게 있습니다 +3sinθcosθ 첫 번째 단계는 이 두개의 항을 바꾸는 것입니다 sin^2(θ)+cos^2(θ)는 1입니다 우리는 저것을 1 나누기 1로 간단히 했습니다 이제 생각해 봅시다 어떻게 cos^2(θ)를 쓸지 공식을 쓰겠습니다 cos^2(θ) 삼각법 동영상에서 이것을 증명했습니다 이것은 2분의 1+cos2θ입니다 제 목표는 이것을 간단히 하는 것입니다 아마 적분을 해야할 것입니다 분모의 최솟값을 찾기 위해 적분을 사용하겠습니다 분수의 최댓값을 갖게 하는 cos^2(θ)는 이것과 같습니다 그래서 4곱하기 이것은 4를 2로 나누면 2입니다 그래서 이것은 2곱하기 이 분자입니다 그래서 2+2cos2θ가 될 것입니다 그게 여기 있는 것입니다 그리고 이 항은 저것입니다 우리는 이 삼각함수 공식을 사용할 수 있습니다 sin2θ는 2sinθcosθ와 같습니다 양변을 2로 나누면 sin2θ/2는 sinθcosθ와 같습니다 그래서 여기 있는 것이 sin2θ/2가 될 것입니다 하지만 3을 곱합니다 그래서 3sin2θ/2가 됩니다 그러면 이 부분은 분명히 간단해 졌습니다 이것은 3입니다 다시 써봅시다 이것은 1을 3+2cos2θ+3sin2θ/2로 나눈 것입니다 우리는 최솟값을 찾고 있습니다 분모의 최솟값을 찾고 있습니다 분수의 최댓값을 얻게 해주는 그것은 그냥 1을 최솟값으로 나눈 것입니다 0보다 크다고 가정하고 어디까지 작아질 수 있는지 봅시다 이 분모를 얼마나 작게할 수 있는 봅시다 우리는 그것의 최솟값을 찾고 있습니다 우리가 할 수 있는 한가지는 간단히 하는 것입니다 이것의 최솟값은 같습니다 저기에 쓰고 싶지 않습니다 왜냐하면 헷갈리기 때문입니다 3+2cos2θ+3sin2θ/2의 최솟값은 최솟값과 같습니다 3+ 치환하겠습니다 2θ를 x로 그러면 조금 간단해 집니다 반드시 할 필요는 없습니다 3+2cosx+3sinx/2가 됩니다 꽤 간단한 표현입니다 최솟값을 어떻게 구할지 봅시다 미분하면 될 것 같습니다 미분값이 0이 되는 곳을 찾기 위해 그러면 최소 혹은 최대점이 될 것입니다 미분해 봅시다 이것의 미분은 x에 대해 미분하겠습니다 3을 x로 미분하면 0입니다 2cosx를 x에 대해 미분하면 -2sinx입니다 3sinx/2의 미분은 3cosx/2입니다 그리고 이게 0이 되야 합니다 기울기가 0이 되는 곳을 찾고 싶습니다 최대 혹은 최소점이 될 것이기 때문입니다 봅시다 양변에 2sinx를 더합시다 그러면 3cosx/2는 2sinx와 같습니다 양변을 먼저 2로 나눕시다 많은 단계를 한꺼번에 넘어가고 싶지 않습니다 3cosx/4는 sinx와 같습니다 양변을 cosx로 나눕시다 그러면 3/4가 sinx를 cosx로 나눈 값과 같습니다 tanx와 같은 tanx를 3/4가 되게 하는 x값은 최대 혹은 최소점입니다 생각해봅시다 조금만 생각해봅시다 단위원을 그리겠습니다 두개의 x값에 대해 생각해봅시다 tan값을 3/4가 되게하는 단위원을 그리겠습니다 저게 단위원 입니다 단위를 그리겠습니다 이것은 항상 가장 어려운 부분입니다 이걸 그리겠습니다 이게 단위원입니다 어떻게 삼각형을 그릴까요? 이렇게 생각해봅시다 tan값을 3/4가 되게 하는 삼각형을 어떻게 얻을지 기억하세요 tan는 밑변 분의 높이입니다 맞죠? tan는 높이를 빗변으로 나눈 것입니다 이게 삼각형이고 이게 x이면 밑변 분의 높이가 3/4입니다 높이는 3이고 밑변은 4라고 합시다 바로 인지하길 바랍니다 이것은 3,4,5 직각삼각형입니다 3^2+4^2는 25인 5^2 이기 때문입니다 그래서 이것은 3,4,5 삼각형입니다 두개의 tan값이 있습니다 x는 이렇게 될 수 있습니다 이것은 사실 길이 1인 빗변이 아닙니다 하지만 5로 나눌 수 있습니다 그러면 이런 상황이 됩니다 여기 있는 상황이 됩니다 이게 x고 이게 단위원이면 빗변은 1입니다 이것은 3/5고 이것은 4/5입니다 이게 tanx고 그 값은 3/4입니다 하지만 이게 최솟값인가요 최댓값인가요? 여기서 sinx cosx 모두 양수입니다 둘 다 양수입니다 그러므로 최댓값이 될 것입니다 여기 있는것이 같은 tan값이 나오는 다른 x는 기억하세요 tan는 그냥 단위원의 기울기입니다 이 각도가 될 것입니다 이것은 같은 tan값을 갖게 해줍니다 여기 x입니다 이 경웨 tan값은 여전히 3/4입니다 하지만 여기서 sin과 cos값은 모두 음수입니다 여기 x좌표 혹은 cos값은 -4/5입니다 그리고 sin값 혹은 y값은 -3/5입니다 그리고 이개 최솟값을 줄 것입니다 왜냐하면 sin cos값 모두 음수이기 때문입니다 이 x를 여기에 써봅시다 우리는 x값이 무엇인지는 몰라도 됩니다 왜냐하면 tan값이 3/4면 sin은 3/5고 cos은 4/5가 될 것이기 때문입니다 최댓값을 줄 혹은 tan는 3/4일 수 있습니다 그러면 sin값은 -3/5고 cos값은 -4/5입니다 여기에 써봅시다 최솟값은 3+ 2*cosx 이것을 사용하겠습니다 2*cosx cosx는 여기서 -4/5입니다 +3sinx/2입니다 여기서 sinx는 -3/5입니다 그러면 이것은 무슨 값이 나올까요? 이것은 3+(-8/5) 이것은 3빼기 마이너스 8/5-9/10으로 쓸 수 있습니다 그러면 이것은 10으로 통분하면 30/10 -16/10 이게 8/5입니다 -9/10입니다 계산하면 무엇인가요? 5/10입니다 5/10 혹은 1/2입니다 분모의 최솟값은 지금까지 해온 것이 분모의 최솟값을 찾기 위함이었습니다 최솟값은 1/2입니다 그러면 이 전체의 최댓값은 최솟값이 1/2일 때입니다 그러면 1나누기 1/2 = 2입니다 다했습니다