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삼각법 심화문제: 여러 개의 제약조건

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조건을 만족하는 Θ 의 개수를 구하시오 -π/2부터 π/2까지의 구간에서 괄호가 있으므로 양끝은 포함하지 않습니다 Θ 는 nπ/5와 같지 않습니다 즉 n=0, 1, -1, 2, -2일 때 Θ는 π/5의 배수가 되지 않습니다 또한 tanΘ는 cot5Θ와 같고 sin2Θ는 cos4Θ와 같습니다 우리는 모든 조건을 만족하는 Θ의 개수를 구해야 합니다 시작하겠습니다 식을 Θ에 대해 풀고 여러분이 탄젠트와 코탄젠트에서 했던 것처럼 사인과 코사인 사이에서 변환합니다 이를 해봅시다 만약 여러분이 시간 제한이 있는 시험을 본다면 저는 여러분이 1법칙에서 파생되는 삼각함수의 성질들을 재증명하는 걸 권하지 않습니다 하지만 교육 목적으로는 항상 이렇게 합니다 여기에 직각 삼각형을 그리겠습니다 만약 여러분이 IIT-JEE 시험을 본다면 저는 삼각함수의 성질들을 직접 써보는 것을 권합니다 우선 직각삼각형부터 논해봅시다 이 각을 Θ라 하겠습니다 이 각도는 라디안으로 나타내면 π/2-Θ가 됩니다 90도는 π/2가 됩니다 삼각형의 모든 각의 합은 180도이며 이는 π입니다 따라서 이 각도는 π/2입니다 즉 이 두 개의 각도는 더해서 π/2가 되어야 합니다 따라서 이 각은 π/2-Θ가 됩니다 cosΘ에 대해 생각해봅시다 Θ의 코사인, 즉 세 변을 a,b,c라 하겠습니다 이 변은 밑변이 됩니다 즉 코사인은 인접해 있습니다 "sou-cah=toa"라고 쓰겠습니다 코사인은 밑변/빗변입니다 즉 cosΘ는 b/c입니다 b/c와 같은 것에는 또 어떤 것이 있을까요? 만약 우리가 저 각도(π/2-Θ)를 이 각도(Θ)의 관점에서 보면, b는 높이가 될 것입니다 즉 이 각도의 관점에서 밑변/빗변이 됩니다 따라서 sin(π/2-Θ)와도 같아집니다 우리는 첫번째 성질을 찾았습니다 cosΘ와 sin(π/2-Θ)가 같다는 것입니다 반대로 생각해보면 sinΘ가 cos(π/2-Θ)와 같다는 성질을 같은 논리로 알아낼 수 있습니다 이 성질은 아마 우리가 이 등식을 풀 때 유용할 것입니다 게다가 이 등식을 풀 때도 쓸 수 있습니다 제가 cot5Θ를 쓴다면 한번 써보겠습니다 cot5Θ, cos 말고요 cot5Θ는 이것과 같습니다 cot5Θ는 cos5Θ/sin5Θ와 정확히 일치합니다 이는 1/tan5Θ이며 역시 같습니다 위의 성질을 이용해서 코사인을 사인으로 바꾸겠습니다 이 식을 바꿔서 쓰면 sin(π/2-5Θ)/cos(π/2-5Θ)가 됩니다 여기서는 이 성질을 쓰겠습니다 이 값은 tan(π/2-5Θ)와 같아집니다 우리는 이 식을 풀고자 하며 또한 등식의 모든 해를 확실히 구하고자 합니다 여러분이 한 가지 기억해야 할 것은 어떤 각도의 탄젠트를 구할 때 여기에 단위원을 그리겠습니다 어떤 각에 대해서 이 각도를 Θ라 하겠습니다 여러분이 기억해야 할 것은 tanΘ가 직선의 기울기라는 것입니다 즉 높이/밑변입니다 이 선분은 주어진 직선의 기울기이며 또한 단위원의 반지름입니다 즉 Θ는 180도를 더하거나 π를 더한 각과 똑같은 기울기를 가집니다 여러분이 π를 더하면 Θ+π를 얻습니다 즉 이 각도는 Θ+π입니다 기울기는 변하지 않습니다 반지름의 기울기는 같습니다 따라서 π의 정수배를 더하고 탄젠트를 구하면 정확히 같은 값을 얻습니다 여기에 π의 정수배를 더하겠습니다 이제 우리는 등식의 모든 해를 구할 수 있습니다 따라서 이미 말했던 것처럼 우리는 이제 첫번째 등식을 풀 수 있습니다 그런 다음 다른 조건들을 고려합시다 즉 tanΘ는 cot5Θ와 같습니다 tanΘ는 cot5Θ와 같다 여기선 cot5Θ 대신에 tan(π/2-5Θ+nπ)라고 쓰겠습니다 이때 n은 정수입니다 즉 두 각의 tan값은 같습니다 따라서 두 각은 같다고 할 수 있습니다 Θ는 π/2-5Θ+nπ와 같음을 알 수 있습니다 최소한 이 두 각이 같다면 각 각도의 tan값을 구하면 같은 값을 얻을 수 있습니다 π의 정수배를 더해도 됩니다 어느 쪽으로도 확인할 수 있습니다 그러기 전에 먼저 등식을 풉시다 양변에 5π를 더합니다 죄송합니다 양변에 5Θ를 더합니다 이 값을 양변에 더합니다 여러분은 6Θ가 π/2-nπ 죄송합니다, +nπ와 같음을 얻게 됩니다 여기에 + 기호가 있었군요 양변을 6으로 나눕니다 Θ가 π/12+nπ/6와 같음을 얻었습니다 분수를 쉽게 더하기 위해서 이렇게 쓸 수도 있습니다 π/12+2nπ/12 이것은 π/6과 같은 분수입니다 전 단지 분모와 분자에 2를 곱했습니다 두 분수는 정확히 일치합니다 여기에 1이 곱해졌다고 생각합시다 이는 (2n+1)π/12와 같습니다 즉 이것이 첫번째 식의 모든 해입니다 이제 두번째 식의 해를 구해봅시다 그런 다음, 공통근이 있는지 확인합니다 그 다음 이 조건을 만족하는 해를 찾습니다 두번째 등식입니다 여기에 쓰겠습니다 먼저 이것부터 쓰겠습니다 cos4Θ입니다 무엇이 cos4Θ와 같을까요? 위와 같은 논리로 cos4Θ는 sin(π/2-Θ)와 같습니다 우리가 사인,코사인함수를 쓸 때 혹은 어떤 삼각함수에서도 임의의 각도에 대해서 2π의 정수배를 더하면 같은 값을 얻습니다 이제 저는 여기에 2π의 정수배를 더해서 가능한 모든 해를 구할 것입니다 즉 이 값이 cos4Θ와 같습니다 여기서 주의하시다 4Θ는 π/2-Θ와 다른 cos값을 가집니다 같은 cos값을 갖는 각도는 Θ입니다 좌변이 cos4Θ이면, 이 각은 π/2-Θ+2πn입니다 2πn을 더합니다 분명히 2πn을 더했으므로 같은 각으로 돌아가야 합니다 따라서 이 식으로 돌아갑니다 sin2Θ가 cos4Θ와 같음을 알 수 있습니다 이는 이 값과도 같으므로 sin(π/2-4Θ+2πn)와 같습니다 이 항들은 같은 값을 평가합니다 두 각도가 같다고 합시다 2Θ는 π/2-4Θ+2πn과 같습니다 식의 양변에 4Θ를 더합니다 좌변에 6Θ를 얻습니다 6Θ는 π/2와 같습니다 이 항은 지워집니다 2πn을 더합니다 양변을 6으로 나눕니다 Θ는 π/12+πn/3과 같게 됩니다 Θ는 π/12+πn/3과 같게 됩니다 이제 공통분모로 통분하여 우변을 간단히 합니다 분모는 12가 됩니다 이 항은 π입니다 πn/3은 4πn/12와 같습니다 이를 정리하면 (4n+1)π/12가 됩니다 이제 해야할 것은 두 해의 교집합을 찾는 것입니다 우리는 해의 개수를 구해야 합니다 해를 직접 구할 필요는 없습니다 여러분이 총명해서 암산으로 답을 구할 수 있다면 -π/2부터 π/2 사이에서 몇 개의 공통근이 있는지를 생각할 수 있습니다 우리는 이 범위에서 해를 구해야 합니다 -π/2부터 π/2 사이에서요 양 끝 값은 제외합니다 사실 이 집합의 원소들은 모두 이 집합의 원소가 됩니다 이는 n의 값에 관계없이 n에 2배를 하면 두 해집합이 같아지기 때문입니다 이 집합의 원소들은 모두 저 집합의 원소가 됩니다 이 등식을 만족하면 저 등식도 만족시킵니다 이제 이 조건을 만족하는 해의 개수를 찾으면 됩니다 확실하게 하기 위해서 이 등식을 만족하는 모든 해를 찾겠습니다 그런 다음 이 등식을 만족하는 모든 해를 찾으면 됩니다 빠르게 풀기 위해선 이 등식을 만족하는 해들을 구해야 합니다 또는 두 해집합의 교집합을 찾아도 됩니다 문제를 해결할 수 있습니다 개수를 세봅시다 n=0에서 시작합니다 n이 0이면 따로 쓰지 않겠습니다 n이 0이면 π/12를 얻습니다 n이 1이면 3π/12를 얻습니다 n이 2이면 5π/12를 얻습니다 n이 3이 될 수는 없습니다 왜냐하면 n이 3이면 7π/12를 얻는데 이는 범위를 벗어납니다 이 값은 6π/12보다 큽니다 즉 이 값은 해가 될 수 없습니다 n이 음수일 때도 구해 봅시다 n이 음수일 때도 구해 봅시다 n이 -1이면, -π/12를 얻습니다 n이 -2이면 -3π/12를 얻습니다 n이 -3이면 -5π/12를 얻습니다 n이 -4가 될 수는 없습니다 왜냐하면 -7π/12를 얻는데 이 값은 범위를 벗어납니다 즉 이 해들만이 등식을 만족합니다 두 해집합의 교집합은 어떻게 될까요? n이 0이라 합시다 π/12를 얻습니다 n이 1이면 5π/12를 얻습니다 n을 2로 할 수는 없는데 해가 범위를 벗어나기 때문입니다 n이 -1이면, -3π/12를 얻습니다 n이 -2이면 이 값은 -8이 됩니다 -7π/12를 얻게 되고 이는 -π/12보다 작습니다 즉 이 값은 세지 않습니다 총 3개의 해가 있습니다 여기를 보면 3개의 근을 확인할 수 있습니다 총 세 개의 근이 있습니다 이 중 어느 것도 이 조건을 만족하지 않습니다 어느 것도 π/5의 정수배가 되지 않습니다 이 문제의 답은 3입니다 이제 2번째 방정식을 풀었습니다 또 기억해야 할 것은 아래 등식의 해는 또한 위의 등식의 해가 된다는 것입니다 이렇개 3개의 해를 얻었습니다 문제를 해결했습니다