삼각법 심화문제: 육각형의 넓이

A는 (0,0) B는 (b, 2)인 좌표평면의 점들이라 해봅시다 ABCDEF를 볼록 정육각형이라 해봅시다 볼록하다는 것은 오목하지 않다는 말입니다 오목한 육각형은 이렇게 생겼습니다 두 변은 이렇게 생겼고 3, 4, 5, 6번째 변은 이와 같죠 이것은 오목한 육각형입니다 이쪽이 볼록하게 튀어나와 있죠 그리고 모든 변의 길이가 같습니다 따라서 이는 등변육각형입니다 문제에서는 정육각형이라는 말이 없으므로 우리는 모든 내각이 같을지의 여부는 모릅니다 하지만 변들은 모두 등변일 것입니다 또한 각 FAB는 120도이고 여러 변들끼리 서로 평행함이 명시되어 있습니다 그리고 꼭짓점들의 y좌표가 0, 2, 4, 6, 8, 10의 서로 다른 값을 가집니다 육각형의 넓이는 m√n이고 이 때 m과 n은 양수이며 n은 어떤 소수의 제곱값으로도 나눌 수 없습니다 쉽게 해석하자면 그냥 이 값을 최대한 단순화시켰다는 의미입니다 m + n의 값을 구하여라 먼저 이 육각형을 그릴 수 있는지 봅시다 우리는 꼭짓점 하나 (0,0)은 알고 있죠 x축을 먼저 그리도록 하겠습니다 이것이 x축입니다 그리고 y축을 그립니다 이것이 y축입니다 우리는 (0,0)에 꼭짓점 A가 있다는 걸 알죠 이것이 꼭짓점 A입니다 이제 우리는 꼭짓점들이 0,2,4,6,8,10 중에서 y좌표를 가지는 것을 압니다 그리고 이들은 집합 안에서 서로 다른 값을 가집니다 즉 어느 꼭짓점도 y좌표를 공유하지 않습니다 그러므로 이들은 같은 수평선 위에 놓이지 않을 것입니다 이 수평선들을 그려보면 y가 0이면 x축과 같습니다 그리고 y가 2인 수평선을 가집니다 y가 4, 6, 8이면 여기에 있고 10인 수평선은 여기에 그려집니다 우리는 B의 위치를 이미 압니다 0은 이미 사용했죠 A의 y좌표가 0이니까요 2도 이미 사용했죠 B의 y좌표가 2라고 문제에 나와 있으니까요 이쪽에 B를 그려보자면 B는 이 수평선 어딘가에 위치합니다 육각형의 변의 길이는 s인데 우리는 그 길이는 모르지만 길이가 모두 같다는 것은 압니다 이를 일단 s라고 정하면 생각하기가 편해지겠죠 이것이 등변육각형이기에 모든 변들의 길이가 같을 것입니다 (b,2)의 좌표로 가봅시다 우리는 b가 무엇인지 모르지만 이것이 꼭짓점 B입니다 이제 F는 A에 연결된 다른 꼭짓점입니다 F는 y가 2인 수평선에 위치하지 못합니다 y가 6인 수평선에도 위치하지 못하는데 그 위치가 너무 멀기 때문입니다 B까지의 거리보다 훨씬 멀것입니다 사실 이 값을 가질 수는 있지만 그렇게 된다면 볼록한 육각형을 그릴 수 없을 것입니다 다음 꼭짓점은 그냥 이 수평선 위에 위치해야 합니다 그래서 원점으로부터 s만큼 떨어져 있을 것입니다 여기쯤에 점이 위치하게 되겠죠 따라서 이것이 다음 꼭짓점입니다 여기가 꼭짓점 F입니다 A, B, C, D, E, F 다음에 다시 A로 올 것이기 때문입니다 꼭짓점 C를 봅시다 C는 y좌표가 4인 수평선 위에 놓일 수 없습니다 그럼 y좌표가 6인 수평선 위에 있어야 하네요 그래서 꼭짓점 C는 이쯤에 위치할 것입니다 이것이 꼭짓점 C입니다 이 길이는 s이고 여기 이 길이도 s입니다 꼭짓점 E를 봅시다 y가 6인 수평선 위에는 꼭짓점 C가 있으니 여기엔 있을 수 없죠 즉 4와 6은 이미 쓰였습니다 그래서 y가 8인 수평선에 있어야 합니다 이 길이는 S입니다 그리고 우리는 다시 원점으로 돌아가야 한다는 것을 압니다 여기가 꼭짓점 E입니다 우리는 같은 x값으로 돌아가는 것을 아는데 여기가 y절편이 될 것입니다 우리가 이것을 아는 이유는 이 길이가 s이고 이 길이도 s이기 때문입니다 두 대각선은 같은 수직 거리를 이동합니다 이 밑면은 4이고 이 밑면도 4입니다 이 둘을 두개의 직각삼각형으로 볼 수 있을 것입니다 둘은 밑변이 4이고 빗변이 s이며 이 변을 서로 공유합니다 이 변이 왼쪽으로 이만큼 갔다면 이 변도 그만큼을 돌아와야 할 것입니다 같은 논리로 이 변도 다시 돌아와야 합니다 우리는 이번에 y좌표가 10인 점을 그려야 합니다 10이 y좌표인 점 말입니다 이 값이 D에 쓸 유일하게 남은 값입니다 변이 s일 때 이만큼 나왔고 4만큼 위로 이동하였기에 같은 논리로 대각선이 s를 가집니다 이는 4만큼 위로 이동하였고 이만큼 옆으로 나와있습니다 반대 방향으로 가서 4만큼 위로 이동한다면 같은 방향으로 돌아가야 할 것입니다 그래서 이것은 정확히 B 위에 존재하고 D의 좌표는 (b, 10)이 될 것입니다 이 점의 y좌표는 10입니다 그리고 여기 육각형이 그려졌습니다 우리는 육각형을 다 그렸습니다 그리고 문제 조건 중 평행 조건에 대해서는 AB는 DE에 평행합니다 당연하게도 BC는 EF에 평행합니다 그리고 CD는 FA에 평행합니다 그림을 보면 이러한 조건들을 모두 충족시킨 것 같네요 이제 우리는 면적을 구해야 합니다 이 육각형의 면적을 구해야 합니다 이는 좋은 시작점으로 보여집니다 s를 찾기 위해서 말이죠 s의 값을 알아내는 것은 여기의 기울기에 대한 함수를 푸는 것과 동일합니다 그려보자면 여기서 각의 크기가 모두 같지 않은 육각형이기에 삐딱하게 그려졌습니다 약간 일그러져 있죠 하지만 모든 변들은 등변입니다 여기를 θ라고 해봅시다 여기 이 각을 θ라고 해봅시다 문제에서 각 FAB가 120도입니다 여기가 120도입니다 이 왼쪽의 각은 180 - 120 - θ가 될 것입니다 180 - 120 = 60이므로 이 각은 60 - θ가 될 것입니다 이것을 한 이유는 가진 정보를 최대한으로 활용하기 위함입니다 여기에서 4만큼 이동한 것을 알고 있습니다 여기에서는 2만큼 이동한 것을 알고 있습니다 s값을 구하기 위해 이 정보들을 활용할 수 있을 것입니다 s는 방금 그린 두 직각삼각형의 빗변이기 때문입니다 한번 그려보자면 여기 이 직각삼각형은 이렇게 그려볼 수 있습니다 여기가 s이고 여기는 θ입니다 이 길이는 2이고 이것은 저 직각삼각형을 그린 것입니다 이 직각삼각형은 이렇게 생겼습니다 이 각은 60 - θ입니다 이 높이는 4입니다 이제 s를 한 번 구해봅시다 왼쪽의 삼각형 원래 그림에서는 오른쪽입니다 이 삼각형에서 sinθ를 볼 수 있습니다 sinθ는 대응하는 변을 빗변으로 나눈 값과 같습니다 이는 s를 2로 나눈 값입니다 그리고 잊지 마세요 이 빗변 또한 s입니다 이 삼각형에서 sin (60 - θ)는 s를 4로 나눈 값과 같습니다 이를 같다고 놓는다면 양쪽에 2를 곱할 수 있습니다 2sinθ는 s / 4와 같고 sin(60 - θ)도 s / 4와 같으므로 이들은 서로 같은 값입니다 2sinθ는 sin(60 - θ)와 같습니다 여기에서 삼각정리의 성질을 사용해 봅시다 이 부분이 sin(A - B)의 꼴을 가진다는 것을 볼 수 있습니다 sin(A - B)는 sinAcosB와 같습니다 이 경우에는 B 대신 θ이겠죠 sin(60 - θ)를 기본 삼각정리를 통해 나타내 보았습니다 합차 공식이라 불리는 삼각정리죠 이는 sin60cosθ - cos 60sinθ입니다 그리고 이는 2sinθ와 같습니다 sin 60의 경우 √3 / 2와 같습니다 cos 60은 1/2입니다 양변에 1/2sinθ를 더해줍니다 무엇을 얻을 수 있나요? 양변에 1/2sinθ를 더해줍니다 그러면 이 항은 소거될 것입니다 여기 2sinθ에 1/2sinθ를 더해주는데 이는 4/2sinθ와 같습니다 그래서 이는 5/2sinθ가 될 것입니다 여기에 1/2sinθ를 더해주면 5/2sin θ는 √3 ᐧ cosθ/2와 같아집니다 맞죠? 여기에 1/2 sinθ를 양변에 더해주었습니다 더 단순화시키려면 양변에 2를 곱하면 됩니다 그러면 5sinθ가 나옵니다 5sinθ는 √3 ᐧ cosθ와 같습니다 이제 다음 삼각정리를 이용해 봐요 sin² θ + cos² θ = 1입니다 일단 양변을 제곱합니다 이 근호 역시 없애주겠네요 25sin²θ가 되고 √3을 제곱하면 3입니다 cos²θ 대신에 1 - sin²θ라 쓰도록 합시다 맞죠? cos²θ는 1 - sin²θ입니다 방금 양변을 제곱하였습니다 과정을 적도록 합시다 양변을 제곱하였습니다 그래서 25sin²θ는 3 - 3sin²θ와 같다는 식이 나옵니다 양변에 3sin²θ를 더하면 28sin²θ는 3과 같다는 식이 나옵니다 즉 sin²θ의 3/28과 같아집니다 또한 여기에서 sinθ는 √(3/28)과 같아집니다 √(3/28)과 같아집니다 단순화하려면 28은 4 x 7이므로 밖으로 꺼낼 수 있습니다 지금으로써는 괜찮으므로 필요하다면 나중에 더욱 단순화시키도록 하죠 어떨 때는 이런 형태를 이용하는 것이 더 쉽습니다 다시 한번 봅시다 우리는 sinθ의 값을 가지고 있고 여기에서 s의 값과 연결지을 수 있습니다 이 과정을 거치기 전에 우리는 sinθ는 2/s와 같음을 알고 있습니다 또는 2/s는 1/sinθ와 같습니다 또는 s는 2/ sinθ와 같습니다 우리는 sinθ의 값을 알고 있는데 √(3/28)입니다 그래서 s는 2/sinθ와 같은데 sinθ의 역수를 곱하는 것과 같습니다 그래서 s는 2√(28/3)과 같아집니다 여기에서 우리는 s를 구하였습니다 2에 이 값을 곱한 값입니다 우리가 s를 안다고 가정하였을 때 넓이를 구해보도록 합시다 여기에서 구해지는 것은 이 높이를 가지는 삼각형을 볼 수 있는데 옆쪽에서 봤을 때는 밑변이라 할 수 있겠죠 이 밑변은 8입니다 그리고 이 거리는 피타고라스 정리를 이용하여 구할 수 있습니다 이 거리는 아시다시피 4입니다 이 거리는 아시다시피 4입니다 우리는 이 길이, 즉 빗변이 s임을 압니다 이것을 높이라 할 수 있을 것입니다 h²에 4² 즉 16을 더한 것이 빗변의 제곱, 즉 s²과 같다고 할 수 있습니다 s²에서 s는 이 값입니다 그래서 s를 제곱하고 싶다면 4 ᐧ 28/3이 됩니다 양변에서 16을 빼봅시다 h는 4 ᐧ 28/3 -16인데 h는 4 ᐧ 28/3 -16인데 원한다면 16을 분모가 3인 값으로 표현해서 48/3이 될 것입니다 4와 28을 곱하기 번거로우므로 48을 4 ᐧ 12라 써봅시다 분자가 4 ᐧ 28 - 12인데 이 값이 h²임을 기억합시다 여기에서 h²은 4(28 - 12)/3입니다 즉 4 ᐧ 16 / 3입니다 즉 64/3과 같습니다 이 값은 h²이 됩니다 h는 이 값의 제곱근이 되는데 즉 8/√3이 됩니다 따라서 h는 8/√3이 됩니다 이 도형에서의 넓이를 구하고자 하는데 여기 작은 부분의 넓이를 먼저 구하도록 합시다 여기는 h ᐧ 4가 될 것입니다 이것은 두 가지 방법으로 할 수 있습니다 여기를 그냥 h ᐧ 4 ᐧ 1/2라 합시다 여기는 이 삼각형의 넓이의 두 배가 될 것인데 파란색으로 칠하자면 이 삼각형의 넓이는 h가 될 것이고 이는 8/√3 ᐧ 4 ᐧ 1/2가 됩니다 h가 될 것이고 이는 8/√3 ᐧ 4 ᐧ 1/2가 됩니다 여기 이 부분은 2 ᐧ 8/√ 3 즉 16/√ 3이 될 것입니다 그래서 이는 16/√ 3이 될 것입니다 같은 넓이가 많이 있는데 이 두 영역은 정확히 같은 넓이를 가질 것입니다 이 부분도 똑같이 정확히 같은 넓이를 가질 것입니다 같은 논리로 같은 밑변과 같은 높이를 가집니다 둘은 합동 삼각형이죠 이러한 삼각형이 4개이므로 4를 곱해서 넓이를 구해 볼 겁니다 제가 아까 칠했던 부분들의 넓이죠 즉 여기에 4를 곱해봅시다 64 / √3를 구할 수 있습니다 구해야 하는 남은 넓이는 중간의 이 평행사변형의 넓이입니다 우리는 평행사변형의 밑변의 길이를 압니다 평행사변형의 밑변의 길이는 8입니다 높이만 알아내면 되는데 다시 한번 피타고라스의 정리를 사용합시다 여기를 h는 이미 썼지만 다시 h를 쓰겠습니다 그저 이것을 기억합시다 둘은 서로 다르다는 것 말입니다 이 밑변의 길이는 2입니다 알아보기 힘들어졌네요 여기에서 h² + 4 + 2²은 s²과 같습니다 s²은 전에 이미 구했죠 4 ᐧ 28/3이었습니다 양변에서 4를 빼면 여기서 4, 혹은 12/3을 빼게 됩니다 12는 4 ᐧ 3과 같으므로 이 값은 4 ᐧ 28 - 3과 같아집니다 즉 4 ᐧ 25/3입니다 이는 100/3과 같아집니다 이 값은 h²입니다 이 h는 이 값의 제곱근 값과 같아지는데 10/√ 3과 같아집니다 여기에서의 거리는 10/√ 3입니다 이 평행사변형의 넓이를 구하기 위해서는 높이에 밑변을 곱하면 됩니다 즉 이 평행사변형의 넓이는 8 ᐧ 10√3 또는 80√3입니다 아 잠깐만, 아니네요 이 높이는 10√3입니다 그래서 평행사변형의 넓이는 8 ᐧ 입니다 즉 80/√3입니다 이제 모두 더한 전체 넓이를 구해보죠 이 네 개의 삼각형에 대해 64 √3에다가 80/√ 3을 더한 값이 있죠 다 더해보자면 평행사변형 부분은 80/√ 3이고 삼각형 부분들을 더하면 64/√ 3이 더해집니다 이는 144/√ 3와 같은 값을 가집니다 여기서 분모를 유리화할 수 있습니다 √3을 분모와 분자에 곱해준다면 분모는 3이 될 것이고 144/3이 생기는데 이것은 얼마일까요? 바로 48입니다 맞죠? 3 * 40 = 120이고 3 * 8= 24입니다 48√3이 되는데 이것이 전체 육각형의 넓이가 됩니다 답은 48√3으로 구해지는데 그리하여 m + n은 48 + 3, 즉 51이 됩니다 힘든 문제였습니다 끝에 가서 머리가 아파오기 시작했습니다 각 부분을 놓치지 않기가 어려웠어요 어쨌든 즐거운 시간 보내셨길 바랍니다