삼각법 심화문제: 삼각형의 넓이

삼각형 ABC는 AC=7, BC=24인 직각 삼각형이다 그리고 직각은 C에 있다 이것을 한번 그려보자 한 번 그려 보자 직각을 좌표로 잡을 수 있으므로 직각 부분을 원점에 적겠습니다 그래서 여기는 C이고 AC=7이므로 여기에 거리를 쓰면 7이 되겠습니다 그리고 삼각형의 변을 그리겠습니다 이것은 B가 되고, 여기 이 거리는 BC가 24임을 말해줍니다 이제 됐습니다 점 M은 AB의 중점입니다 그러므로 다른 색으로 여기에 찍어보겠습니다 점 M은 중점입니다 AB의 중점이므로 이 거리는 저 거리와 같습니다 그리고 D는 AB와 같은 쪽에 있습니다 D는 AB와 C 사이에 존재하는데 AD=BD=15를 만족합니다 그래서 D는 여기 어딘가가 되겠습니다 이것은 A,B와 거리가 같은 이 선과 같이 될 것입니다 이 선 위에 있는 어느 점입니다 또 a,b로부터 15 떨어져 있습니다 여기 이 거리가 15이고, 저 거리 역시 15입니다 삼각형 cdm의 넓이가 (여기가 d이므로) m 은 그들이 원하는 삼각형일 것입니다 이 삼각형은 m루트n 나누기 p로 나타내집니다 m,n,p는 양수입니다 그리고 m,p는 서로소입니다 그리고 n은 어떠한 소수의 제곱으로 나누어질 수 없습니다 근호를 간단히 할 것 같습니다 m+n+p의 값을 찾습니다 넓이는 여기 초록색으로 색칠한 cdm입니다 우리는 이 문제를 해결하기 위해 좌표를 적용해 볼 수 있습니다 여기 이 점은 x값은 7이 되고 (여기를 x축으로 잡겠습니다) (여기를 y축으로 잡겠습니다) a의 좌표는 7,0일 것입니다 c의 좌표는 0,0입니다 b의 좌표는 0, 24입니다 m의 좌표는 a,b의 평균이므로 x좌표는 7의 절반이고 y 좌표는 24와 0의 평균은 12입니다 이제 충분합니다 이제 변에 대해 생각해 봅니다 이 삼각형이 직각 삼각형이므로 항상 피타고라스 공식을 사용합니다 ab에 대해 알고 싶다면 우리는 단순히 24제곱 더하기 7제곱 은 는 ab제곱입니다 그리고 24제곱은 576이고, 7제곱은 49 이므로 둘이 더하면 576+49는 일단 50을 더하면 626이 됩니다 그래서 1을 빼면 625가 됩니다 625는 ab 의 제곱과 같습니다 그래서 ab는 25가 될 것입니다 여기 이 거리는 25가 됩니다 또는 이 길이의 절반은 25/2가 될 것입니다 bm이고 am 역시 25/2가 됩니다 우리가 아는 또 다른 것은 우리가 아는 또 다른 것은 바로 여기 있는 m은 삼각형 mcd에 있는 이 m은 다른 삼각형입니다 우리는 m의 x죄표가 c,a의 중간에 있음을 을 알 수 있습니다 여기는 7이고 여기는 0이므로 여기 위의 이 점은 두 점의 중점 위에 있습니다 그래서 이 삼각형은 우리가 뒤집을 수있고 (여기를 기준으로) 이 거리는 삼각형의 넓이의 기본이 되는 우리가 신경쓰는 삼각형의 넓이를 삼각형 cdm의 넓이를 알려줍니다 이 거리는 역시 25/2가 될 것입니다 그래서 이 삼각형은 여기 이 선을 기준으로 저 부분과 대칭입니다 이 삼각형의 한 변을 알았습니다 이제 이 변을 알아봅시다 여기 이 삼각형도 직각 삼각형이 될 것입니다 왜냐하면 dm은 ab와 수직이기 때문입니다 a,b로부터 같은 모든 점은 이 선에서 a,b와 직교할 것입니다 여기 이 삼각형이 직각 삼각형이고 우리는 피타고라스 정리를 써서 dm을 알아볼 수 있습니다 25/2의 제곱 25/2 의 제곱 더하기 dm제곱 더하기 dm제곱 더하기 dm제곱은 15의 제곱과 같을 것입니다 이것은 이 삼각형의 빗변이 됩니다 이 값은 225가 됩니다 그래서 우리는 dm제곱 dm 제곱은 225 빼기 625/4 여기 225를 900/4로 표현할 수 있습니다 분모를 같게 하기 위해서입니다 그래서 900/4이고요 그리고 저번 영상에서 제가 실수로 숫자롤 잘못 썼습니다 이 숫자가 여기 다시 나오네요 그래서 225는 900/4가 됩니다 그리고 여기서 625/4를 빼겠습니다 빼기 625/4 . 그리고 이것은 분자를 보자면 900-625 는 300-25는 275/4가 될 것입니다 그래서 dm은 이것의 루트 값이 될 것입니다 루트 275/4가 됩니다 275는 25*11입니다 또는 5*루트11/2가 될 것입니다 그래서 dm은 5루트11/2입니다 이제, 우리가 구해야할 것은, 바로 여기 있는 삼각형의 높이입니다 이 삼각형의 높이를 구한다면 답에 거의 근접할 수 있을 것입니다 높이의 정수 배가 되는 것입니다 그러나 우리는 여기 이 높이를 코사인 등의 것으로 알아야 합니다 우리가 이 각의 사인 값을 안다면 이 각의 사인 값은 MD 분에 방금 우리가 찾았던 이 변이 될 것입니다 그러나 쉽게 해결되지 않을 것 같습니다 그러나 우리가 할 수 있는 것은 여기 이 큰 삼각형을 본다면 여기 BMC를 보면 (다시 이 삼각형을 그리겠습니다) . (너무 원래의 삼각형과 겹치고 싶진 않네요) 삼각형 BMC 입니다 우리는 이 변이 25/2입을 압니다 여기 역시 25/2임을 압니다 여기 이 변은 24임을 압니다 우리는 이것도 압니다 우리가 알고 싶은 것은 여기 이 각의 사인 값입니다 각 CMD 말입니다 하기는 어렵지만 우리가 할 수 있는 것은 코사인 x+90을 이용하는 것입니다 이 삼각형을 다시 그려보겠습니다 삼각형 BCM (여기 이렇게 그릴 수 있습니다) 여기 둔각 삼각형을 그립니다 여기 꼭짓점은 B C M이 됩니다 그리고 여기 이 각은 우리가 알고 싶은 각+90도가 될 것입니다 그래서 여기 이 각은 x+90도 입니다 여기 이 변은 24입니다 여기 이 변은 25/2입니다 역시 여기도 25/2입니다 이것을 이용하면 우리는 코사인의 법칙을 이용해 이 각이(x가)실제로 무엇인지 구할 수 있습니다 한번 해 보겠습니다 약간 사기성의 방법일 수 있지만 코사인의 법칙입니다 각 m의 맞은편의 제곱은, 즉 24제곱은 25/2의 제곱 25/2의 제곱 더하기 25/2의 제곱 빼기 2*25/2 *25/2 *cos x라고 할 수 있습니다 (잠시 넘기면) 코사인 90+ x 도 입니다 이 각은 코사인 값인데 어떻게 우리는 이 각의 사인 값을 알 수 있을까요 실제로 우리가 궁금한 것은 삼각형의 높이를 알기 위한 사인 값입니다 그것을 하기 위해 하나 깨달아야 할 것이 있습니다 바로 각의 변환 공식입니다 코사인 값은 사인 90-x와 똑같다는 것입니다 그래서 코사인 x+90도는 ,코사인 x+90도는 사인 -x+90-90과 같게 될 것입니다 이것은 90이 서로 없어진다면 사인 -x가 될 것입니다 그리고 우리는 사인 -x가 -사인x 임을 압니다 그래서 이것을 간단히 하자면 여기 이 부분을 사인으로 바꾸고 음의 부호만 붙이면 여기는 양이 될 것입니다 그래서 간단히 하면 24제곱 이것은 576입니다 576은 한번 봅시다 (하나의 단계도 넘어가고 싶지 않습니다) 25제곱 더하기 25제곱 이것은 2*(25/2의 제곱)입니다 이것은 2*(25/2의 제곱)입니다 이것은 2*(25/2의 제곱)입니다 이것은 2*(25/2의 제곱)입니다 더하기 2 곱하기 (여기 이것도 25/2의 제곱입니다) (25/2의 제곱) 곱하기 사인 x입니다 그래서 우리가 풀어야 할 것은 이 사인 값입니다 여기 이 값은 576 은 2*(25/2)^2 여기 이 것으로 묶겠습니다 1+사인 x입니다 1+사인 x 또는 양 변을 이 것으로 나누어 간단하게 할 수 있습니다 여기 이 것은 625 나누기 4입니다 여기에 2를 곱하여여기 이 것은 625 나누기 2 입니다 양변을 625/2로 나누겠습니다 그래서 우리는 576 곱하기 625/2 양변에 역수를 곱하겠습니다 또 다시 같은 값을 곱하겠습니다 그러면 여기 이 부분이 사라집니다 그래서 이 값은 1+사인 x입니다 1+사인 x입니다 또는 양 변에 1을 빼면 사인 x를 알 수 있습니다 그래서 사인 x는 576*2 이것은 1152입니다 분모는 625입니다 또 여기서 1을 빼야 하는데 분모가 625이므로 분자에도 625를 빼겠습니다 이것은 다시 1152 -625 계산을 열심히 하면 계산을 열심히 하면 그래서 이것은 527 나누기 625가 됩니다 거의 다 왔음을 여러분이 느끼지 못하실 수도 있습니다 그래서 여기 삼각형 cdm, 이 문제의 핵심이 되는 삼각형을 조금 다르게 그려보겠습니다 제가 그려보겠습니다 약간 다르게 그리겠습니다 그래서 우리가 매우 흥미롭게 cdm에 대해 아는 것은 여기는 c이고 여기는 d이고 여기는 m입니다 우리는 여기 이 변을 압니다 여기 이 값은 5/2*루트11 입니다 이 길이는 dm의 길이가 됩니다 우리는 또한 여기 이 cm이 25/2임을 압니다 우리는 또한 여기 이 사인 값을 압니다 여기 이 각의 사인 값이 527/625 임을 알고 방금 구한 값입니다 그래서 이 사실을 삼각형의 높이를 알기 위해 사용할 수 있습니다 왜냐하면 우리는 이 변이 빗변의 반대편임을 알 수 있기 때문입니다 여기 또 다른 삼각형을 그릴 수 있습니다 그래서 사인 x는 527/625인데 이 값은 높이를 분자로 하고 5/2*루트 11임을 알 수 있습니다 그래서 우리는 양변을 5/2*루트 11로 곱할 수 있고 그러면 우리는 삼각형의 높이는 527 나누기 625 곱하기 5 나누기 2 곱하기 루트 11임을 알 수 있습니다 한 번 봅시다 625/5는 125입니다 여기는 1이고 여기에는 125를 쓸 수 있습니다 그래서 이 것은 527 루트 11이 분자이고 분모는 125 곱하기 2 즉 250입니다 이것은 높이입니다 그래서 넓이는 무엇일까요? 이 높이는 1/2 곱하기 밑변 곱하기 높이입니다 넓이는 1/2 곱하기 및변 이것은 25/2입니다 곱하기 높이 (방금 알아낸) 이것은 572루트 11 나누기 250입니다 25를 약분하면 분모에 10이 남습니다 그래서 이것은 527 루트 11 나누기 2<i>2</i>10 이것은 40입니다 이것이 면적입니다 그러나 문제에서는 넓이를 찾으라는 것이 아니라 m+n+p를 찾기를 원했습니다 M+N+P 그래서 문제에서는 실제로 527+11 +40을 찾기를 바랬습니다 527 +11 +40 그래서 527 더하기 11은 538입니다 여기에 40을 더하면 답은 578입니다 끝입니다