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단원 5: 분산과 표본의 표준편차
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분산과 표본의 표준편차
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모집단과 표본표준편차 복습

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모집단과 표본표준편차

표준편차는 각 측정값과 평균의 차이를 측정하여 해당 자료의 산포도를 나타내는 값입니다.
표준편차의 공식은 자료가 모집단인지 아니면 모집단을 대표하는 표본집단인지에 따라 달라집니다.
  • 만약 자료가 모집단인 경우, 데이터 값의 개수 N로 나누고,
  • 만약 자료가 모집단을 대표하는 표본집단인 경우, 표본에 있는 자료값의 개수보다 작은 n−1로 나눕니다.
모표준편차:
σ=∑(xi−μ)2N
표본표준편차:
sx=∑(xi−x¯)2n−1
각 공식은 하나를 제외하고는 모두 동일합니다. 표본집단을 사용할 때에는 모든 측정값의 개수보다 하나를 적게 나눕니다.
다음의 예제들을 통해 각 공식을 이용하는 방법을 단계별로 배울 것입니다.
왜 n−1으로 나누는지의 이유는 조금 복잡합니다. 이 주제와 관련된 심화 내용들을 알아보고 싶으면 이 동영상을 살펴보세요.

모표준편차

다음은 모표준편차 공식입니다:
σ=∑(xi−μ)2N
이제, 모표준편차 공식을 배워보겠습니다:
1 단계: 주어진 자료의 평균을 구합니다. 이는 공식에서 μ에 해당합니다.
2 단계: 주어진 측정값에서 평균을 뺀 만큼을 편차라 부릅니다. 편차의 값은 음수나 양수가 될 수도 있습니다.
3 단계: 모든 편차를 제곱하여 양수로 만듭니다.
4 단계: 제곱된 편차들을 모두 더합니다.
5 단계: 제곱된 분산의 합을 모집단에 있는 자료의 개수로 나눕니다. 이 단계에서 나온 값을 분산이라고 합니다.
6 단계: 분산에 제곱근을 씌워 표준편차를 구합니다.

예제: 모표준편차

4명의 친구들이 최근 에세이 성적을 비교하고 있습니다.
다음 성적의 표준편차를 구하세요:
6, 2, 3, 1
1 단계: 평균을 구합니다.
μ=6+2+3+14=124=3
평균은 3점입니다.
2 단계: 친구들이 받은 성적에서 평균을 뺍니다.
점수: xi편차: (xi−μ)
66−3=3
22−3=−1
33−3=0
11−3=−2
3 단계: 각 편차를 제곱합니다.
점수: xi편차: (xi−μ)편차의 제곱: (xi−μ)2
66−3=3(3)2=9
22−3=−1(−1)2=1
33−3=0(0)2=0
11−3=−2(−2)2=4
4 단계: 제곱된 편차를 모두 더합니다.
9+1+0+4=14
5 단계: 편차 제곱의 합을 성적의 개수로 나눕니다.
144=3.5
6 단계: 5 단계에서 나온 값에 제곱근을 씌우세요.
3.5≈1.87
표준편차는 약 1.87입니다.
모표준편차에 대해 더 알고 싶다면, 이 동영상을 살펴보세요.
예제와 같은 문제를 더 풀고 싶다면, 모집단의 표준편차에 대한 연습문제를 풀어보세요.

표본표준편차

다음은 표본표준편차 공식입니다:
sx=∑(xi−x¯)2n−1
이제, 표본표준편차 공식을 배워보겠습니다:
1 단계: 주어진 자료의 평균을 구하고 x¯라고 나타냅니다.
2 단계: 주어진 측정값에서 평균을 뺀 만큼을 편차라 부릅니다. 편차의 값은 음수나 양수가 될 수도 있습니다.
3 단계: 모든 편차를 제곱하여 양수로 만듭니다.
4 단계: 제곱된 편차들을 모두 더합니다.
5 단계: 제곱된 분산의 합을 표본집단의 자료 개수에서 하나를 뺀 값으로 나눕니다. 이 단계에서 나온 값을 분산이라고 합니다.
6 단계: 분산에 제곱근을 씌워 표준편차를 구합니다.

예제: 표본표준편차

학생들이 연필을 몇 개 가지고 있는지를 조사하기 4명의 학생을 표본으로 뽑았습니다.
다음 연필 개수의 표준편차를 구하세요:
2, 2, 5, 7
1 단계: 평균을 구합니다.
x¯=2+2+5+74=164=4
표본평균은 연필 4자루입니다.
2 단계: 친구들이 받은 성적에서 평균을 뺍니다.
연필 개수: xi편차: (xi−μ)
22−4=−2
22−4=−2
55−4=1
77−4=3
3 단계: 각 편차를 제곱합니다.
연필 개수: xi편차: (xi−x¯)편차 제곱: (xi−x¯)2
22−4=−2(−2)2=4
22−4=−2(−2)2=4
55−4=1(1)2=1
77−4=3(3)2=9
4 단계: 제곱된 편차를 모두 더합니다.
4+4+1+9=18
5 단계: 제곱된 분산의 합을 표본집단 자료의 개수에서 하나를 뺀 값으로 나눕니다.
184−1=183=6
6 단계: 5 단계에서 나온 값에 제곱근을 씌우세요.
6≈2.45
표본표준편차는 약 2.45입니다.
표본표준편차에 대해 더 알고 싶다면, 이 동영상을 살펴보세요.
예제와 같은 문제를 더 풀고 싶다면, 표본집단의 표준편차에 대한 연습문제를 풀어보세요.

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