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주요 내용

모집단과 표본표준편차 복습

모집단과 표본표준편차

표준편차는 각 측정값과 평균의 차이를 측정하여 해당 자료의 산포도를 나타내는 값입니다.
표준편차의 공식은 자료가 모집단인지 아니면 모집단을 대표하는 표본집단인지에 따라 달라집니다.
  • 만약 자료가 모집단인 경우, 데이터 값의 개수 N로 나누고,
  • 만약 자료가 모집단을 대표하는 표본집단인 경우, 표본에 있는 자료값의 개수보다 작은 n, minus, 1로 나눕니다.
모표준편차:
sigma, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis, squared, divided by, N, end fraction, end square root
표본표준편차:
s, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root
각 공식은 하나를 제외하고는 모두 동일합니다. 표본집단을 사용할 때에는 모든 측정값의 개수보다 하나를 적게 나눕니다.
다음의 예제들을 통해 각 공식을 이용하는 방법을 단계별로 배울 것입니다.
n, minus, 1으로 나누는지의 이유는 조금 복잡합니다. 이 주제와 관련된 심화 내용들을 알아보고 싶으면 이 동영상을 살펴보세요.

모표준편차

다음은 모표준편차 공식입니다:
sigma, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis, squared, divided by, N, end fraction, end square root
이제, 모표준편차 공식을 배워보겠습니다:
1 단계: 주어진 자료의 평균을 구합니다. 이는 공식에서 mu에 해당합니다.
2 단계: 주어진 측정값에서 평균을 뺀 만큼을 편차라 부릅니다. 편차의 값은 음수나 양수가 될 수도 있습니다.
3 단계: 모든 편차를 제곱하여 양수로 만듭니다.
4 단계: 제곱된 편차들을 모두 더합니다.
5 단계: 제곱된 분산의 합을 모집단에 있는 자료의 개수로 나눕니다. 이 단계에서 나온 값을 분산이라고 합니다.
6 단계: 분산에 제곱근을 씌워 표준편차를 구합니다.

예제: 모표준편차

4명의 친구들이 최근 에세이 성적을 비교하고 있습니다.
다음 성적의 표준편차를 구하세요:
6, 2, 3, 1
1 단계: 평균을 구합니다.
mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, 3
평균은 3점입니다.
2 단계: 친구들이 받은 성적에서 평균을 뺍니다.
점수: x, start subscript, i, end subscript편차: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis
66, minus, 3, equals, 3
22, minus, 3, equals, minus, 1
33, minus, 3, equals, 0
11, minus, 3, equals, minus, 2
3 단계: 각 편차를 제곱합니다.
점수: x, start subscript, i, end subscript편차: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis편차의 제곱: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis, squared
66, minus, 3, equals, 3left parenthesis, 3, right parenthesis, squared, equals, 9
22, minus, 3, equals, minus, 1left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 1
33, minus, 3, equals, 0left parenthesis, 0, right parenthesis, squared, equals, 0
11, minus, 3, equals, minus, 2left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4
4 단계: 제곱된 편차를 모두 더합니다.
9, plus, 1, plus, 0, plus, 4, equals, 14
5 단계: 편차 제곱의 합을 성적의 개수로 나눕니다.
start fraction, 14, divided by, 4, end fraction, equals, 3, point, 5
6 단계: 5 단계에서 나온 값에 제곱근을 씌우세요.
square root of, 3, point, 5, end square root, approximately equals, 1, point, 87
표준편차는 약 1, point, 87입니다.
모표준편차에 대해 더 알고 싶다면, 이 동영상을 살펴보세요.
예제와 같은 문제를 더 풀고 싶다면, 모집단의 표준편차에 대한 연습문제를 풀어보세요.

표본표준편차

다음은 표본표준편차 공식입니다:
s, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root
이제, 표본표준편차 공식을 배워보겠습니다:
1 단계: 주어진 자료의 평균을 구하고 x, with, \bar, on top라고 나타냅니다.
2 단계: 주어진 측정값에서 평균을 뺀 만큼을 편차라 부릅니다. 편차의 값은 음수나 양수가 될 수도 있습니다.
3 단계: 모든 편차를 제곱하여 양수로 만듭니다.
4 단계: 제곱된 편차들을 모두 더합니다.
5 단계: 제곱된 분산의 합을 표본집단의 자료 개수에서 하나를 뺀 값으로 나눕니다. 이 단계에서 나온 값을 분산이라고 합니다.
6 단계: 분산에 제곱근을 씌워 표준편차를 구합니다.

예제: 표본표준편차

학생들이 연필을 몇 개 가지고 있는지를 조사하기 4명의 학생을 표본으로 뽑았습니다.
다음 연필 개수의 표준편차를 구하세요:
2, 2, 5, 7
1 단계: 평균을 구합니다.
x, with, \bar, on top, equals, start fraction, 2, plus, 2, plus, 5, plus, 7, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 16, divided by, 4, end fraction, equals, 4
표본평균은 연필 4자루입니다.
2 단계: 친구들이 받은 성적에서 평균을 뺍니다.
연필 개수: x, start subscript, i, end subscript편차: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis
22, minus, 4, equals, minus, 2
22, minus, 4, equals, minus, 2
55, minus, 4, equals, 1
77, minus, 4, equals, 3
3 단계: 각 편차를 제곱합니다.
연필 개수: x, start subscript, i, end subscript편차: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis편차 제곱: left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis, squared
22, minus, 4, equals, minus, 2left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4
22, minus, 4, equals, minus, 2left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4
55, minus, 4, equals, 1left parenthesis, 1, right parenthesis, squared, equals, 1
77, minus, 4, equals, 3left parenthesis, 3, right parenthesis, squared, equals, 9
4 단계: 제곱된 편차를 모두 더합니다.
4, plus, 4, plus, 1, plus, 9, equals, 18
5 단계: 제곱된 분산의 합을 표본집단 자료의 개수에서 하나를 뺀 값으로 나눕니다.
start fraction, 18, divided by, 4, minus, 1, end fraction, equals, start fraction, 18, divided by, 3, end fraction, equals, 6
6 단계: 5 단계에서 나온 값에 제곱근을 씌우세요.
square root of, 6, end square root, approximately equals, 2, point, 45
표본표준편차는 약 2, point, 45입니다.
표본표준편차에 대해 더 알고 싶다면, 이 동영상을 살펴보세요.
예제와 같은 문제를 더 풀고 싶다면, 표본집단의 표준편차에 대한 연습문제를 풀어보세요.