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이제 분산 공식에 대해 얘기해 볼 시간입니다 이제 분산 공식에 대해 얘기해 볼 시간입니다 이것을 통해 시그마 기호를 다루는 것도 더 편해질 거예요 이것을 통해 시그마 기호를 다루는 것도 더 편해질 거예요 의미도 이해하고요 분산 공식은 여러 번 배웠을텐데 모분산 공식으로 할게요 표본분산이랑 거의 똑같습니다 N-1 대신 N으로 나누면 되죠 모분산은 각 측정점 x_i를 평균에서 빼고 제곱한 후 평균을 내야 합니다 각 점에서 거리의 제곱을 더하는데 i = 1에서 i = N까지 하고 N으로 나누어 줍니다 그러면 제곱인 항을 전개해보면 어떻게 될지 볼게요 그러면 제곱인 항을 전개해보면 어떻게 될지 봅시다 그러면 제곱인 항을 전개해보면 어떻게 될지 봅시다 봅시다 흥미로운 일이 일어날 것 같네요 시그마 i = 1에서 N까지 이건 그냥 전개하면 x²_i 빼기 약간의 대수학이 들어가네요 전개를 써 보죠 전개를 써 보죠 (x_i - μ)(x_i - μ) x_i에 x_i를 곱하면 x²_i이고 다음엔 x_i 에 - μ를 곱하고 - μ에 x_i도 곱하니까 둘을 더하면 -2(x_i)μ이죠 두 번 있으니까요 x_i × μ가 (-x_i)μ하나고 - μ(x_i)가 하나 또 있으니까 더하면 -2(x_i)μ가 됩니다 첨자 때문에 헷갈릴 수 있을텐데 (a-b)²랑 다를게 없어요 (a-b)²랑 다를게 없어요 변수가 좀 더 복잡해 보이는 것뿐이죠 마지막 항 -μ × -μ는 +μ²입니다 좋아요 좋아요 좋아요 이건 가둬 둘게요 이것의 시그마는 생각해 보면 각 x_i 그러니까 모집단의 각 수를 가지고 이렇게 다 더하는데 이렇게 다 더하는데 생각해 보면 이건 무엇과 같냐면 생각해 보면 이건 무엇과 같냐면 시그마 기호에 대해 잘 모른다면 이것을 알아두면 좋아요 이것은 시그마 i=1에서 N까지 첫 번째 항 x²_i 빼기 상수항은 밖으로 뺄수 있어요 시그마에서 중요한 것은 i를 가진 항이에요 이 경우엔 x_i죠 x_1, x_2 같이요 그런 것만 시그마 오른쪽에 두면 됩니다 그런 것만 시그마 오른쪽에 두면 됩니다 미적분 재생목록을 보았다면 시그마를 어떤 면에서는 이산 적분이라고 할 수도 있겠네요 시그마를 어떤 면에서는 이산 적분이라고 할 수도 있겠네요 적분은 많은 것들을 더하고 아주 작은 구간인 dx로 곱하죠 아주 작은 구간인 dx로 곱하죠 여기서는 그냥 더하기만 합니다 미적분 재생목록에서 적분은 아주 작은 것들을 무한대로 더하는 것이라고 했는데 적분은 아주 작은 것들을 무한대로 더하는 것이라고 했는데 주제에서 너무 벗어나는 것 같네요 말하고 싶었던 건 시그마 i=1에서 N까지의 둘째 항이 -2μ × 시그마 i = 1에서 N까지 x_i와 같다는 겁니다 마지막으로, 더하기 이건 그냥 상수항이죠 이건 그냥 상수항이죠 밖으로 꺼낼 수 있습니다 μ² × 시그마 i=1에서 N까지 여기엔 무엇이 들어갈까요? 1입니다 1로 나눠서 1로 나눠서 시그마 밖으로 빼낸 것입니다 그러면 1만 남게되죠 사실 μ²은 안에 놔두어도 되는데 어쨋든 계속 간단히 해보죠 이것은 x_i가 뭔지 모르니까 더 간단히 할 수 없고요 이것은 xi가 뭔지 모르니까 더 간단히 할 수 없고요 그대로 놔두죠 그대로 놔두죠 그리고 이건 분자입니다 이 모든건 분자를 간단히 하는 것이고 나중에 N으로 나눠줄 겁니다 이건 N으로 나눈 것과 같고 이걸 N으로 나눈 것과 같습니다 마지막에 N으로 나눌게요 헷갈리는 건 분자니까요 위에 이 항만 간단히 하면 됩니다 그럼 계속 해볼게요 시그마 i = 1에서 N까지 x²_i 시그마 i = 1에서 N까지 x²_i -2μ -2μ 시그마 i=1에서 N까지 x_i 시그마 i=1에서 N까지 x_i 이건 뭘까요? 다르게 표현할 수 있는 방법은 무엇일까요? 결국 1에 자기 자신을 N번 더하는 것입니다 이것은 여기에 무엇이 있던 N번 반복하라는 것입니다 x_i가 있었다면 첫 번째 항을 사용하고 두 번째 항을 사용한다든지 하겠지만 여기에 1이 있으면 1을 자기 자신에 N번 더하라는 것 곧 N과 같습니다 따라서 이건 +μ²N입니다 따라서 이건 +μ²N입니다 더 할 수 있는게 있는지 볼게요 이건 분자이고요 이건 괜찮아 보이네요 각 항들을 더하면 되고 -2μ, i=1에서 이걸 보세요 이건 뭘까요? 여기 이건 뭘까요? 먼저 N을 다시 가져오죠 이건 이렇게 간단히 해서 N으로 나눴고 그건 이렇게 간단히 해서 N으로 나눴고 그건 이렇게 간단히 해서 N으로 나눴고 그걸 이렇게 해서 N으로 나눴습니다 각 항을 N으로 나누는 것과도 같죠 각 항을 N으로 나누는 것과도 같죠 각 항을 N으로 나누는 것과도 같죠 이건 어떻게 간단히 할까요? 이게 흥미로운 부분입니다 이건 크게 할 수 있는게 없습니다 시그마 i=1에서 N까지 x²_i를 N으로 나누어 줍니다 시그마 i=1에서 N까지 x²_i를 N으로 나누어 줍니다 이건 재미있네요 모집단에 있는 각 항을 다 더해서 N으로 나누면 무엇일까요? 이것 말이에요 모집단의 모든 항을 더해서 항의 개수만큼으로 나누면 무엇일까요? 평균입니다 모평균이죠 따라서 이것도 μ입니다 어떻게 간단히 할까요? -2 × μ × 이것 전체도 μ이니까 μ²입니다 μ × μ 이게 모평균입니다 잘 간단히 했네요 그리고 더하기 이건 뭘까요? 보면 N / N이니까 지울수 있어요 +μ²이네요 이것도 잘 간단히 했네요 그리고 이것을 간단히 하면 이쪽은 크게 할것이 없으니까 시그마 i=1에서 N까지 x²_i 나누기 N에 -2μ² + μ²가 있네요 그건 -μ²와 같죠 - 평균의 제곱입니다 벌써 분산을 표현하는 좋은 방법이 생겼습니다 벌써 분산을 표현하는 좋은 방법이 생겼습니다 모든 수, 이 경우엔 모집단 제곱의 평균에서 모든 수, 이 경우엔 모집단 제곱의 평균에서 모평균의 제곱을 빼면 되죠 모평균의 제곱을 빼면 되죠 어떻게 계샨하느냐에 따라 분산을 계산하는 좀 더 빠른 방법이 되겠네요 약간의 대수학으로 이렇게 각 측정점에서 평균을 빼고 제곱하는 대신 각 측정점에서 평균을 빼고 제곱하는 대신 당연히 이 전에 평균도 구해야 하죠 당연히 이 전에 평균도 구해야 하죠 제곱하고 다 더하는데 결국 다 더해서 N으로 나누면 평균을 구하는 것이고요 결국 다 더해서 N으로 나누면 평균을 구하는 것이고요 약간의 대수학으로 공식을 간단히 해 이 공식을 얻었습니다 원점수 방식이 만들어지고 있네요 이제 이것을 x_i의 식으로 나타내야 합니다 이제 이것을 x_i의 식으로 나타내야 합니다 그러면 바로 원점수 방식이 되는데 많은 경우 분산을 계산할 때 더 빠른 방법입니다 많은 경우 분산을 계산할 때 더 빠른 방법입니다 그럼 μ는 무엇과 같을까요? 평균은 무엇일까요? 평균은 시그마 i=1에서 N까지 각 항 각 항을 모두 더해 항의 개수만큼 나눠 주면 되죠 항의 개수만큼 나눠 주면 되죠 이걸 보면 이렇게 쓸 수 있습니다 이걸 보면 이렇게 쓸 수 있습니다 시그마 i=1에서 N까지일때 x²_i 를 N으로 나누고 - μ² 그런데 μ는 이것과 같죠 그럼 이것을 제곱하면요? 시그마 i=1에서 N까지 x_i 시그마 i=1에서 N까지 x_i 이걸 제곱합니다 그리고 나눌 때는 N²으로 나누어 줍니다 공식 중에서 이것이 가장 간단해 보이네요 이것이 가장 간단해 보이네요 모평균을 알고 있다면 평균이 무엇이던 제곱해 두고 평균이 무엇이던 제곱해 두고 평균이 무엇이던 제곱해 두고 각 수를 제곱하고 더한 후 각 수를 제곱하고 더한 후 수의 개수만큼으로 나누면 되죠 숫자 써논걸 지웠네요 숫자 써논 걸 지웠네요 하지만 똑같은 분산을 얻는다는 것을 확인할 수 있습니다 하지만 똑같은 분산을 얻는다는 것을 확인할 수 있습니다 저에게는 이것이 가장 간단한 공식이라고 느껴지네요 하지만 많은 경우 이것이 더 빠릅니다 평균을 미리 구할 필요가 없기 때문이죠 평균을 미리 구할 필요가 없기 때문이죠 각 x_i에 대해 이 연산을 수행하고 N이나 N²로 나누면 똑같이 분산을 얻습니다 분산을 구하기 전에 이 계산을 할 필요가 없는 것이죠 분산을 구하기 전에 이 계산을 할 필요가 없는 것이죠 어쨋든 동영상이 유익하고 시그마를 이용한 대수학에 대한 직감이 생겼으면 합니다 시그마를 이용한 대수학에 대한 직감이 생겼으면 합니다 다른 방식으로 분산을 표현했을 때 처럼요 간혹 어떤 책은 간혹 어떤 책은 분산을 이렇게 쓸 수 있고 모분산을 얘기하는 겁니다 이렇게 쓰거나 이렇게 쓸 수도 있습니다 간단한 대수학으로 서로를 얻을 수 있다고 알고 있는것이 나쁘지 않죠 서로를 얻을 수 있다고 알고 있는것이 나쁘지 않죠 시간이 다 되었네요 다음 동영상에서 봅시다