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주요 내용

단계별로 표준편차 구하기

소개

이번 글에서는, 표준편차를 손으로 직접 계산해 보겠습니다.
표준편차를 구하는 과정에는 복잡한 계산이 있고, 실수를 할 수 있기 때문에, 실질적으로 대부분의 통계학자들은 표준편차를 구할 때 기계를 사용합니다. 그 뿐만 아니라 직접 계산하는 방법은 아주 느립니다. 그래서 통계학자들은 직접 계산이 아닌 스프레드시트나 컴퓨터 프로그램을 이용합니다.
그러면 이 글의 목적은 도대체 무엇일까요? 왜 통계학자 조차도 사용하지 않는 법을 배워야 하나요? 손으로 직접 계산을 해 보면, 표준편차 공식이 어떤 식으로 흘러가는지에 대한 직관력을 기를 수 있기 때문입니다. 직관력을 키우는 일은 아주 중요합니다. 표준편차를 스프레드시트나 컴퓨터 프로그램으로부터 나오는 수라고 생각하기보다, 직관을 기르면 해당 수가 어떻게 나왔는지를 설명하고 이해할 수 있습니다.

표준편차를 구하는 방법 개요

다음은 표준편차를 구하는 공식입니다.
표준편차=|xμ|2N
는 합계를 나타내고, x는 자료집합에 있는 값을 의미합니다. μ는 모든 자료의 평균을 나타내고 N은 모집단에 속한 자료의 개수를 나타냅니다.
표준편차 공식은 복잡해 보일 수도 있습니다. 하지만 공식을 단계별로 나눈 후 단계별 예제를 통하면 공식을 이해할 수 있습니다. 배울 단계들을 미리 살펴 보세요:
1 단계: 평균을 구합니다.
2 단계: 각 자료마다 평균으로부터 떨어진 거리를 제곱한 값을 구합니다.
3 단계: 2 단계에서 나온 값을 모두 더합니다.
4 단계: 위에서 얻은 값을 자료점의 개수로 나눕니다.
5단계: 제곱근을 구합니다.

중요 사항

위의 공식은 모집단의 표준편차를 구하는 공식입니다. 만약 표본집단에 대한 표준편차를 구하고 싶으면 아래처럼 N 대신에 n1을 사용하는 공식을 써야 합니다. 하지만, 이 글의 요지는 어떤 공식을 쓰든 간에, 표준편차를 구하는 계산에 익숙해지는 것입니다.
표준편차표본=|xx¯|2n1

표준편차 계산을 위한 단계별 예제

일단, 표준편차를 구할 자료가 필요합니다. 자료점의 개수가 너무 많으면 머리가 아프니까 자료점의 개수가 적은 것으로 정해 봅시다.
6,2,3,1

1 단계: |xμ|2N에서 μ를 구합니다.

이번 단계에서는 자료의 평균인 μ를 구합니다.
빈칸을 채우세요.
μ=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

2 단계: |xμ|2N에서 |xμ|2를 구합니다.

이 단계에서, 각 자료값이 평균으로부터 떨어진 거리(편차)를 구하고 각각의 값들을 제곱합니다.
예를 들면, 첫 번째 자료값이 6이고 평균이 3이면 두 값 사이의 거리는 3이므로, 제곱하면 9가 됩니다.
다음 표를 완성해 보세요.
측정값 x평균에서부터 거리의 제곱 |xμ|2
69
2
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
3
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
1
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

3 단계: |xμ|2N에서 |xμ|2구합니다.

는 합계를 의미하므로, 2 단계에서 구한 값을 모두 더합니다.
빈칸을 채우세요.
|xμ|2=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

4 단계: |xμ|2N에서 |xμ|2N를 구합니다.

이 단계에서는 3 단계에서 구한 값을 자료의 개수, N으로 나눕니다.
빈칸을 채우세요.
|xμ|2N=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

5 단계: 표준편차 |xμ|2N를 구합니다.

거의 다 왔습니다! 이제 4단계에서 나온 값에 제곱근을 취해 주세요.
빈칸을 채우세요.
답을 소수 셋째 자리에서 반올림하여 나타내세요.
표준편차=|xμ|2N
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

네! 해냈습니다! 작은 자료 집합의 표준편차를 구했습니다.

위의 과정의 요약

표준편차 공식을 5 단계로 나누었습니다.
1 단계: 평균, μ를 구합니다.
μ=6+2+3+14=124=3
2 단계: 각 측정값의 평균으로부터 떨어진 거리의 제곱 |xμ|2을 구합니다.
x|xμ|2
6|63|2=32=9
2|23|2=12=1
3|33|2=02=0
1|13|2=22=4
Steps 3, 4, and 5:
표준편차=|xμ|2N=9+1+0+44=144        제곱 거리를 모두 더합니다(3단계).=3.5        자료의 개수로 나눕니다(4단계).1.87        제곱근을 구합니다(5단계).

혼자 풀어보세요

다음은 표준편차 공식입니다:
표준편차=|xμ|2N
자료 집합:
1,4,7,2,6
다음 자료에 대해 표준편차를 구해 봅시다.
답은 소수 셋째 자리에서 반올림하여 나타내세요.
표준편차=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.