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주관식 예제: 평균의 유의성 검정

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용기에 식품의 양을 정확히 표기하기 위해서 판매용 식품의 용기에 상표가 있어야 하는 규정이 있습니다 특히, 우유 용기에 128 fl oz가 들어있다고 표기되어 있고 그 평균이 최소 128이라면 우유 가공 기계는 규정을 준수하는 것으로 간주됩니다 기계는 명시된 양으로 설정할 수 있습니다 기계 작동의 변이성은 우유 용기에 실제로 들어 있는 양이 정규분포를 따르게 합니다 우유 용기 12개의 임의표본은 생산 과정에서 추출하였고 각 용기에 들어 있는 우유의 양이 기록되었습니다 용기 12개의 표본평균과 표본표준편차는 각각 127.2온스, 2.1온스입니다 용기를 만드는 공장이 규정을 준수하지 않는다고 결론지을 수 있는 충분한 증거가 있나요? 정답에 통계적 정당성을 제시하세요 강의를 멈추고 스스로 해보세요 좋아요, 같이 해봅시다 무엇에 대한 것인지 우선 살펴봅시다 μ를 정의합니다 이는 공장에서 생산한 이는 공장에서 생산한 이는 공장에서 생산한 이는 공장에서 생산한 이는 공장에서 생산한 이는 공장에서 생산한 용기들의 모집단에서의 평균입니다 용기들의 모집단에서의 평균입니다 용기들의 모집단에서의 평균입니다 용기들의 모집단에서의 평균입니다 이제 가설을 세웁니다 귀무가설은 규정을 준수한다는 것이겠죠 즉, 모평균이 128입니다 즉, 모평균이 128입니다 규정을 준수하기 위한 최솟값이죠 대립가설은 규정을 준수하지 않는다는 것입니다 즉, 모평균이 128 미만입니다 즉, 모평균이 128 미만입니다 즉, 모평균이 128 미만입니다 따라서 이는 규정을 준수하지 않는 것이죠 준수하지 않는 것이죠 이것이 대립가설입니다 유의성 검정을 시행한다면 유의수준이 필요하겠죠 한번 구해봅시다 유의수준 여러분이 몰랐을 수도 있는데 이번 시간에 검정에서 기대하는 것을 하려고 합니다 이는 AP 시험의 실제 문제입니다 가장 전형적인 유의수준인 0.05로 정합니다 주어지지 않았기 때문에 미리 정하는 것이 중요합니다 이제 추론을 위한 조건을 확인합니다 추론을 위한 조건을 확인합니다 확인합니다 유의성 검정을 하기 위해 사용하는 표본은 추론하는데 타당해야 합니다 첫 번째 조건은 임의성 조건입니다 무엇이 필요할까요? 문제에서 우유 12개의 임의표본이 주어졌습니다 임의표본이 주어졌습니다 AP 시험이라면 여기에 적을 것 같네요 문제에서 문제에서 나와있듯이 나와있듯이 12개의 12개의 임의표본이 있습니다 임의표본이 있습니다 따라서 조건을 만족합니다 따라서 조건을 만족합니다 다음으로 일반성 조건이 있습니다 표본분포가 정규분포를 따르면 조건을 만족합니다 이를 확인할 여러 방법이 있는데요 하나는 표본의 크기가 30 이상이라면 하나는 표본의 크기가 30 이상이라면 표본분포가 정규분포를 따릅니다 하지만 여기서 표본의 크기는 n이고 하지만 여기서 표본의 크기는 n이고 30보다 작지만 일반성 조건을 만족시키는 다른 방법이 있습니다 모집단이 정규분포를 따르면 됩니다 여기 나와 있죠 기계 작동의 변이성은 우유 용기에 실제로 들어 있는 양이 정규분포를 따르게 합니다 문제에서 문제에서 이 부분을 인용할게요 실제로 들어 있는 양 실제로 들어 있는 양 실제로 들어 있는 양 정규분포를 따릅니다 정규분포를 따릅니다 정규분포를 따릅니다 따라서 조건을 만족합니다 따라서 조건을 만족합니다 마지막 조건은 독립성 조건입니다 독립성 조건입니다 표본에 존재하는 개체들이 표본에 존재하는 개체들이 독립이라는 뜻이죠 이를 확인하는 방법 중 하나는 복원추출 여부입니다 하지만 복원추출하지 않았습니다 한번에 용기 12개를 확인하였죠 하지만 모집단의 10%보다 작다면 독립이라고 볼 수 있습니다 독립이라고 볼 수 있습니다 복원추출하지 않았습니다 복원추출하지 않았습니다 복원추출하지 않았습니다 복원추출하지 않았습니다 복원추출하지 않았습니다 하지만 하지만 12가 12가 모집단의 10%보다 작다고 가정합니다 그러므로 조건을 만족합니다 그러므로 조건을 만족합니다 따라서 추론을 위한 세 가지 조건을 만족합니다 세 가지 조건을 만족합니다 그냥 넘어갈 수도 있습니다 반대로 어떠한 정보도 주어지지 않았으니까요 이제 t 통계량을 계산하고 그로부터 p값을 계산합니다 그 다음, 유의수준과 비교하여 어떤 결론을 만들 수 있는지 확인합니다 t 통계량을 구합니다 무언가 감이 잡힌다면 스스로 해도 좋습니다 t 통계량은 표본평균에서 귀무가설에서 가정한 평균을 뺍니다 μ0는 귀무가설에서 가정한 가정한 평균이라고 하죠 이 값을 나눕니다 z 통계량을 구하고 있었다면 표본평균의 표본분포의 표준편차로 나누었을 것입니다 이는 평균의 표준오차이기도 하죠 하지만 t 통계량을 구하고 있으므로 정확히 어떤 값으로 나누어야 할 지는 모르지만 표본표준편차/√n을 이용하여 표본평균의 표본분포의 표준편차를 추정할 수 있습니다 검정하는 중간에 n이 무엇이고 이 값이 무엇인지 설명하는 편이 좋습니다 표준 공식을 이용한다면 그 값들이 무엇인지 짐작하겠지만 각 변수들이 무엇인지 시간이 충분하다면 자세히 설명해도 됩니다 하지만 이 경우 이 값은 127.2 표본평균이죠 여기서 귀무가설에서 가정한 평균인 128을 뺍니다 표본표준편차는 2.1 이를 √12로 나눕니다 계산 결과 계산기로 하죠 분자는 127.2 - 128 ÷ 2.1/√12 2.1/√12 2.1/√12 2.1/√12 괄호를 닫습니다 괄호를 닫습니다 괄호를 닫습니다 잘 입력했나요? 그런 것 같네요 엔터를 클릭하면 그 값은 대략 -1.32가 됩니다 -1.32 이제 p값을 계산할 수 있습니다 p값은 이 t 통계량보다 작거나 같은 값을 얻을 확률입니다 t ≤ -1.32 다시 계산기를 꺼낼게요 여기서 사용할 기능은 t 통계량의 누적분포함수입니다 바로 여기 있네요 왼쪽 꼬리면적을 구합니다 곡선 아래 면적 중에서 -∞에서 -1.32까지의 면적을 구합니다 -1.32 -1.32 자유도는 표본의 크기에서 1을 빼면 됩니다 표본의 크기가 12이므로 11입니다 복사할게요 tcdf(-1E99,-1.32,11) tcdf(-1E99,-1.32,11) tcdf(-1E99,-1.32,11) 시험에서 이것을 써야 채점자가 이 값이 어디서 나왔는지 판단할 수 있죠 계산하면 0.107이 됩니다 적어볼게요 대략 0.107입니다 어떻게 계산하는지 중요합니다 어떻게 계산하는지 중요합니다 tcdf(-1E99,-1.32,11) tcdf(-1E99,-1.32,11) tcdf(-1E99,-1.32,11) tcdf(-1E99,-1.32,11) tcdf(-1E99,-1.32,11) 를 이용하여 구했죠 t 분포를 구하는 연습이 되겠네요 t 분포를 구하는 연습이 되겠네요 이것이 t 분포입니다 이것은 t 분포의 평균이고요 여기가 구하려는 면적입니다 바로 이 값이죠 바로 이 값이죠 바로 이 값이죠 이제 결론을 내릴 준비가 되었습니다 유의수준을 비교합니다 0.107이 0.107이 0.107이 유의수준 α = 0.05보다 크므로 유의수준 α = 0.05보다 크므로 유의수준 α = 0.05보다 크므로 귀무가설을 귀무가설을 기각할 수 없습니다 기각할 수 없습니다 문제를 잘 읽었는지 확인합시다 용기를 만드는 공장이 규정을 준수하지 않는다고 결론지을 수 있는 충분한 증거가 있나요? 다르게 표현하자면 충분하지 않습니다 충분하지 않습니다 스크롤을 조금 내릴게요 공간이 너무 좁네요 좀 내릴게요 공장이 규정을 공장이 규정을 공장이 규정을 준수하지 않는다는 증거가 준수하지 않는다는 증거가 준수하지 않는다는 증거가 충분하지 않습니다 충분하지 않습니다 끝났습니다