표본분포란?

이번 영상에서는 표본분포에 대한 이야기를 해보려 합니다 이번 영상에서는 표본분포에 대한 이야기를 해보려 합니다 개념을 조금 더 구체화하기 위하여 어떤 집단이 있다고 합시다 개념을 조금 더 구체화하기 위하여 어떤 집단이 있다고 합시다 각각에 번호가 붙은 여러개의 공이라고 해 볼까요? 각각에 번호가 붙은 여러개의 공이라고 해 볼까요? 이 집단에 대해서 모수를 설정할 수 있습니다 모수란 이 집단에 대한 정량적 정보입니다 모수란 이 집단에 대한 정량적 정보입니다 다른 영상에서 이에 대한 내용을 다루었습니다 예를 들어 이 공들에 적힌 수들의 평균값과 같은 것들이 모수가 될 수 있습니다 예를 들어 이 공들에 적힌 수들의 평균값과 같은 것들이 모수가 될 수 있습니다 표준편차 또한 매개 변수가 될 수 있고 짝수 번호가 붙은 공들의 비율이라든지 짝수 번호가 붙은 공들의 비율이라든지 여러가지 예시를 생각해 볼 수 있습니다 다른 여러 영상에서 이미 다루었듯 이러한 모수를 전체 집단에서 찾거나 측정하기 어려운 경우가 있습니다 이러한 모수를 전체 집단에서 찾거나 측정하기 어려운 경우가 있습니다 이럴 때에는 전체 모집단에서 표본을 취하여 모수의 값을 예측할 수 있습니다 이럴 때에는 전체 모집단에서 표본을 취하여 모수의 값을 예측할 수 있습니다 표본의 크기를 n이라고 합시다 표본의 크기를 n이라고 합시다 이제 이 표본에서 통계값을 구하는 것입니다 다시 정리하자면 전체 공 중에서 n개의 공을 뽑아 통계량를 이용해 예측되는 모수의 값을 계산하는 것입니다 통계량를 이용해 예측되는 모수의 값을 계산하는 것입니다 하지만 취한 표본은 전체 집단에서 임의로 뽑은 것이기 때문에 매번 표본을 취할 때마다 구해지는 통계량은 매번 표본을 취할 때마다 구해지는 통계량은 실제 모수와 항상 같은 값일 수 없습니다 실제 모수와 항상 같은 값일 수 없습니다 실제로 한 번 표본으로부터 통계량을 구한 후 다시 n개의 임의의 표본을 취하여 또 다시 통계량을 구하면 처음 구한 값과는 다를 확률이 큽니다 또 다시 통계량을 구하면 처음 구한 값과는 다를 확률이 큽니다 결국 표본으로부터 얻어지는 통계량은 모두 모수에 대한 예측값이 될 뿐입니다 이제 흥미로운 것은 표본으로부터 얻어지는 통계량의 분포입니다 이제 흥미로운 것은 표본으로부터 얻어지는 통계량의 분포입니다 이제 흥미로운 것은 표본으로부터 얻어지는 통계량의 분포입니다 표본으로부터 얻어지는 여러 통계량들이 각각 나타나는 빈도가 어떻게 될까요? 표본으로부터 얻어지는 여러 통계량들이 각각 나타나는 빈도가 어떻게 될까요? 그 분포 혹은 빈도가 바로 표본분포입니다 개념을 조금 더 다듬어 봅시다 아주 간단한 예시를 들어보도록 하겠습니다 아주 간단한 예시를 들어보도록 하겠습니다 총 3개의 공을 가지고 있다고 합시다 총 3개의 공을 가지고 있다고 합시다 각 각의 공에는 1부터 3까지 번호가 붙어 있습니다 1부터 3까지의 숫자이니 계산하기가 무척 편하겠죠 이제 관심을 가질 모수는 이 집단의 평균값입니다 이제 관심을 가질 모수는 이 집단의 평균값입니다 평균값은 당연히 1부터 3까지 더한 후 전체 개수 3으로 나눈 값입니다 평균값은 당연히 1부터 3까지 더한 후 전체 개수 3으로 나눈 값입니다 즉 2가 되겠죠 이 값이 바로 지금 생각하는 모수입니다 이제 이 모집단으로부터 표본을 취할텐데 표본을 1회 취할 때 2개의 공을 뽑는다고 합시다 표본을 뽑을 때마다 뽑은 공은 다시 제자리에 돌려놓습니다 즉 각각의 공을 뽑는 사건은 독립적입니다 이제 뽑은 두 개의 공을 이용해 모수 즉 평균값을 예측하려고 합니다 이제 뽑은 두 개의 공을 이용해 모수 즉 평균값을 예측하려고 합니다 예를 들어 첫 번째 표본에서 1과 2를 뽑았다고 합시다 예를 들어 첫 번째 표본에서 1과 2를 뽑았다고 합시다 예를 들어 첫 번째 표본에서 1과 2를 뽑았다고 합시다 이제 뽑은 표본으로부터 통계량을 구할텐데 이 경우에는 표본의 평균이 되겠지요 이제 뽑은 표본으로부터 통계량을 구할텐데 이 경우에는 표본의 평균이 되겠지요 그리고 그 통계값을 통해 모집단의 모수를 예측해 볼 것입니다 뽑은 표본의 평균은 1.5입니다 이제 표본을 한 번 더 취하여 1과 3을 뽑았다고 합시다 이 표본의 평균값은 1과 3의 평균인 2가 됩니다 이 표본의 평균값은 1과 3의 평균인 2가 됩니다 이 표본의 평균값은 1과 3의 평균인 2가 됩니다 이제 가능한 표본의 경우의 수와 각각의 경우에 얻어지는 평균값을 생각해 봅시다 이제 가능한 표본의 경우의 수와 각각의 경우에 얻어지는 평균값을 생각해 봅시다 이제 가능한 표본의 경우의 수와 각각의 경우에 얻어지는 평균값을 생각해 봅시다 이를 통해 각 평균값이 표본으로부터 얻어지는 빈도를 알 수 있을 것입니다 이를 통해 각 평균값이 표본으로부터 얻어지는 빈도를 알 수 있을 것입니다 여기에 작은 표를 그려보죠 여기에 작은 표를 그려보죠 여기는 뽑는 표본입니다 처음에 뽑은 공 하나의 번호를 여기 적고 다시 제자리에 넣은 후 처음에 뽑은 공 하나의 번호를 여기 적고 다시 제자리에 넣은 후 두 번째 공을 뽑습니다 다시 한 번 강조하지만 이 사건들은 모두 독립적입니다 다시 한 번 강조하지만 이 사건들은 모두 독립적입니다 1과 1을 뽑는 경우 1과 2 1과 3을 뽑는 경우가 있습니다 2를 뽑은 후 1을 뽑을 수도 있고 2와 2 2와 3을 뽑는 경우가 있습니다 3과 1을 뽑거나 3과 2 3과 3을 뽑는 경우가 있습니다 첫 번째 뽑기에서 뽑을 수 있는 경우의 수가 3가지이고 두 번째에 뽑을 수 있는 경우의 수도 3가지 입니다 이는 물론 처음 공을 뽑은 후 제자리에 돌려놓는다는 조건 때문입니다 이제 각 조합에서 얻어지는 표본의 평균값은 어떻게 되나요? 이제 각 조합에서 얻어지는 표본의 평균값은 어떻게 되나요? 여기서 평균은 1 1.5 2 1.5 2 2.5 2 2.5 마지막으로 3이 됩니다 이제 각각의 평균값에 대한 빈도를 그래프로 그릴 수 있습니다 이제 각각의 평균값에 대한 빈도를 그래프로 그릴 수 있습니다 그리고 그 그래프가 평균값에 대한 표본분포가 될 것입니다 그리고 그 그래프가 평균값에 대한 표본분포가 될 것입니다 직접 해보죠 여기 작은 그래프를 하나 그리겠습니다 여기 작은 그래프를 하나 그리겠습니다 이 축은 가능한 표본 평균값들입니다 1, 1.5 2, 2.5 혹은 3이 가능합니다 1, 1.5 2, 2.5 혹은 3이 가능합니다 1, 1.5 2, 2.5 혹은 3이 가능합니다 이제 각 평균값의 빈도를 확인해 볼까요? 빈도는 이 축에 나타내겠습니다 평균값이 1이 되는 경우는 총 9가지 경우의 수 중 몇 가지일까요? 평균값이 1이 되는 경우는 총 9가지 경우의 수 중 몇 가지일까요? 한 가지 경우 밖에 없습니다 따라서 이 축에 상대적인 빈도 즉 1이라는 전체 확률을 나타낸다면 따라서 이 축에 상대적인 빈도 즉 1이라는 전체 확률을 나타낸다면 평균값이 1인 경우는 총 9가지 경우 중 1가지라고 할 수 있습니다 평균값이 1인 경우는 총 9가지 경우 중 1가지라고 할 수 있습니다 그래프에 나타낸다면 그래프에 나타낸다면 1/9의 값을 가진다고 할 수 있겠죠 평균값이 1.5인 경우는 어떤가요? 총 9가지 경우의 수 중 2가지입니다 총 9가지 경우의 수 중 2가지입니다 평균값 1.5의 빈도는 2/9로 나타낼 수 있겠습니다 평균값 1.5의 빈도는 2/9로 나타낼 수 있겠습니다 평균값이 2인 경우를 볼까요? 9가지 경우의 수 중 3가지 경우에 평균값이 2가 됩니다 9가지 경우의 수 중 3가지 경우에 평균값이 2가 됩니다 3/9 혹은 1/3의 빈도를 가진다고 표현할 수 있습니다 3/9 혹은 1/3의 빈도를 가진다고 표현할 수 있습니다 여기에 점이 찍힙니다 평균값이 2.5가 되는 경우는 9가지 경우의 수 중 2가지 입니다 평균값이 2.5가 되는 경우는 9가지 경우의 수 중 2가지 입니다 평균값이 2.5가 되는 경우는 9가지 경우의 수 중 2가지 입니다 이를 해석하는 다른 방법은 한 번 뽑은 공을 다시 제자리에 돌려 놓는 조건으로 두 개의 공을 뽑을 때 한 번 뽑은 공을 다시 제자리에 돌려 놓는 조건으로 두 개의 공을 뽑을 때 2/9의 확률로 두 개 공의 평균값은 2.5가 된다는 것입니다 이제 마지막 경우를 살펴 보면 9가지 경우의 수 중 1가지 경우 즉 1/9의 확률로 평균값은 3이 됩니다 9가지 경우의 수 중 1가지 경우 즉 1/9의 확률로 평균값은 3이 됩니다 바로 여기에 점이 찍히겠죠 이제 이 그래프가 n = 2 즉 표본 크기가 2일 때 이제 이 그래프가 n = 2 즉 표본 크기가 2일 때 표본의 평균에 대한 표본분포입니다 표본의 평균에 대한 표본분포입니다 표본의 평균에 대한 표본분포입니다