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풍선껌 자판기에 노랑, 초록, 분홍, 파란색 풍선껌이 있습니다 풍선껌 자판기에 노랑, 초록, 분홍, 파란색 풍선껌이 있습니다 파랑색 풍선껌을 몇 개 그려야겠네요 이 영상에서의 주인공은 노란색 풍선껌입니다 이 영상에서의 주인공은 노란색 풍선껌입니다 전체 풍선껌 중 노란색 풍선껌의 비율을 P라고 합시다 전체 풍선껌 중 노란색 풍선껌의 비율을 P라고 합시다 P는 모수가 됩니다 P는 모수가 됩니다 조금 더 문제를 구체화 하기 위해 전체 풍선껌 중 60%가 노란색이라 합시다 조금 더 문제를 구체화 하기 위해 전체 풍선껌 중 60%가 노색이라 합시다 즉 p=0.6이 됩니다 이제 이전 영상에서 배운 것을 잠시 떠올려 봅시다 베르누이 확률변수를 Y라 할 때 베르누이 확률변수를 Y라 할 때 노란색 풍선껌을 뽑으면 Y = 1이 되고 노란색 풍선껌을 뽑으면 Y = 1이 되고 노란색 풍선껌이 아닌 다른 색을 뽑으면 Y = 0이 됩니다 노란색 풍선껌이 아닌 다른 색을 뽑으면 Y = 0이 됩니다 노란색 풍선껌이 아닌 다른 색을 뽑으면 Y = 0이 됩니다 지난 영상에서 이 베르누이 확률변수에 대한 재미있는 사실 몇 가지를 배웠죠 지난 영상에서 이 베르누이 확률변수에 대한 재미있는 사실 몇 가지를 배웠죠 이 Y의 평균 즉 베르누이 확률변수의 평균값은 이 Y의 평균 즉 베르누이 확률변수의 평균값은 전체 풍선껌 개수에 대한 노란색 풍선껌의 비율이 됩니다 전체 풍선껌 개수에 대한 노란색 풍선껌의 비율이 됩니다 즉 여기서는 0.6이 됩니다 이 베르누이 확률변수의 표준편차 또한 구할 수 있습니다 이 베르누이 확률변수의 표준편차 또한 구할 수 있습니다 p ∙ (1 - p)는 분산값이고 p ∙ (1 - p)는 분산값이고 여기에 제곱근을 취해주면 표준편차를 얻을 수 있습니다 여기에 제곱근을 취해주면 표준편차를 얻을 수 있습니다 문제에서 설정한 값을 대입하면 0.6 × 0.4의 제곱근 값이 됩니다 좋습니다 참고로 지금까지의 모든 내용은 이전에 배웠던 것입니다 이제 X라는 또 다른 확률변수를 정의할텐데 이제 X라는 또 다른 확률변수를 정의할텐데 이는 10회의 시행에서 구한 Y의 값의 합이 되겠습니다 이는 10회의 시행에서 구한 Y의 값의 합이 되겠습니다 이전에 이러한 확률 변수를 이미 다룬 적이 있습니다 바로 이항확률변수입니다 이제 이 확률변수의 평균값과 표준편차는 어떻게 구할 수 있을까요? 이전 영상에서 이항확률변수의 평균값은 이전 영상에서 이항확률변수의 평균값은 각 베르누이 시행의 평균값과 시행 횟수를 곱한 값과 같다는 것을 배웠습니다 즉 n ・ p이고 문제에서는 즉 n ・ p이고 문제에서는 10회의 시행이라고 했으므로 n = 10 p=0.6이고 이 둘의 곱은 6이 됩니다 10회의 시행이라고 했으므로 n = 10 p=0.6이고 이 둘의 곱은 6이 됩니다 실제로 이는 직관적으로 이해가 가능합니다 전체 풍선껌 중 60%가 노란색이고 이제 이 중에서 몇 개의 표본을 뽑을텐데 총 10회의 시행이므로 10개의 풍선껌을 뽑는 것입니다 독립적인 사건이니 뽑은 후에는 다시 넣지만 어찌되었든 10개의 풍선껌을 뽑으면 이 중 6개가 노란색일겁니다 어찌되었든 10개의 풍선껌을 뽑으면 이 중 6개가 노란색일겁니다 언제나 정확히 6개는 아니겠지만 6개라 예측할 수 것입니다 언제나 정확히 6개는 아니겠지만 6개라 예측할 수 것입니다 이제 X의 표준편차에 대해서 생각해 봅시다 이 또한 이전 영상에서 증명했는데 이항확률변수의 표준편차는 n ∙ p ∙ (1 - p)의 제곱근 값이 됩니다 이항확률변수의 표준편차는 n ∙ p ∙ (1 - p)의 제곱근 값이 됩니다 이항확률변수의 표준편차는 n ∙ p ∙ (1 - p)의 제곱근 값이 됩니다 Y의 표준편차를 구하는 식에서 제곱근 안에 n만 더 붙었다는 것을 기억하세요 Y의 표준편차를 구하는 식에서 제곱근 안에 n만 더 붙었다는 것을 기억하세요 문제에서 주어진 값을 대입하면 10 ∙ 0.6 ∙ 0.4의 제곱근 값이 되겠습니다 문제에서 주어진 값을 대입하면 10 ∙ 0.6 ∙ 0.4의 제곱근 값이 되겠습니다 문제에서 주어진 값을 대입하면 10 ∙ 0.6 ∙ 0.4의 제곱근 값이 되겠습니다 이 또한 지난 영상에 대한 복습이었습니다 만약 개념들이 생소하다면 베르누이 확률변수나 이항확률변수를 다루는 이전 영상을 찾아 보기 바랍니다 이항확률변수를 다루는 이전 영상을 찾아 보기 바랍니다 이제 이 영상에서 새롭게 배울 내용은 표본분포에 대한 것인데 표본 통계량 즉 표본들의 비율에 대한 표분분포에 대해서 알아보려고 합니다 표본 통계량 즉 표본들의 비율에 대한 표분분포에 대해서 알아보려고 합니다 표본 통계량은 이미 이전에 표본분포라는 개념을 처음 다룰 때 이야기 했었죠 표본 통계량은 이미 이전에 표본분포라는 개념을 처음 다룰 때 이야기 했었죠 지금까지 이야기한 것들은 일단 전부 보류하도록 합시다 이것들은 전부 배경지식입니다 10개의 표본을 뽑을텐데 임의로 10개 표본을 뽑는 것이 아니라 여기 앞서 이야기한 확률변수와 일치하도록 표본을 뽑았다고 합시다 여기 앞서 이야기한 확률변수와 일치하도록 표본을 뽑았다고 합시다 이제 뽑은 10개의 풍선껌 중 노란 풍선껌의 비율을 계산해 봅시다 이제 뽑은 10개의 풍선껌 중 노란 풍선껌의 비율을 계산해 봅시다 표본 비율을 봅시다 노란색 펜으로 적어보죠 노란색 풍선껌의 표본비율을 계산하려 합니다 노란색 풍선껌의 표본비율을 계산하려 합니다 이는 무엇과 같을까요? 이 표본비율은 다음과 같습니다 이 표본비율은 다음과 같습니다 노란색인 풍선껌의 개수를 세고 이를 표본 크기로 나눌 것입니다 노란색인 풍선껌의 개수를 세고 이를 표본 크기로 나눌 것입니다 즉 X/n가 될 것이고 이 문제에서는 X/10가 되겠습니다 여러분 중 몇 명은 여기서 X란 10회의 독립적인 시행에 대한 것이라는 점에 대해 생각하고 있을지도 모르겠습니다 바로 이곳에서 X란 10회의 독립적인 시행에 대한 확률변수라는 점을 확실히 해 두었죠 바로 이곳에서 X란 10회의 독립적인 시행에 대한 확률변수라는 점을 확실히 해 두었죠 독립적인 사건을 만들기 위해서는 풍선껌을 단순히 10개 뽑아서는 안됩니다 한 번에 한 개의 풍선껌을 뽑아서 확인한 후 다시 풍선껌 자판기에 넣는 상황이어야 비로소 독립적인 시행이라 할 수 있습니다 하지만 10% 법칙이 있음을 기억하세요 10% 법칙이란 표본이 모집단의 10% 이하일 때 10% 법칙이란 표본이 모집단의 10% 이하일 때 풍선껌 뽑기를 독립적인 사건으로 생각할 수 있다는 규칙입니다 풍선껌 뽑기를 독립적인 사건으로 생각할 수 있다는 규칙입니다 문제를 쉽게 만들기 위해 총 10,000개의 풍선껌을 가지고 있다고 가정하면 뽑은 이 표본 집단을 10% 법칙에 따라 모두 독립적인 사건으로 생각하는데 아무런 문제가 없습니다 10% 법칙에 따라 모두 독립적인 사건으로 생각하는데 아무런 문제가 없습니다 10% 법칙에 따라 모두 독립적인 사건으로 생각하는데 아무런 문제가 없습니다 결론적으로 뽑은 10개의 풍선껌은 모두 독립적인 사건이 됩니다 10% 법칙에 의한 결론임을 여기에 적어두겠습니다 따라서 이 상황에서는 이 공식을 세우는데 아무런 문제가 없습니다 이제 만든 첫 번째 표본비율이 0.3이라고 합시다 이제 만든 첫 번째 표본비율이 0.3이라고 합시다 이제 만든 첫 번째 표본비율이 0.3이라고 합시다 즉 뽑은 10개의 풍선껌 중 3개가 노란색입니다 즉 뽑은 10개의 풍선껌 중 3개가 노란색입니다 이제 이 과정을 한 번 더 반복합니다 다른 표본을 뽑고 이 표본비율을 계산합니다 다시 한 번 강조하자면 이는 모수를 이해하고자 하는 과정입니다 두 번째 표본에서는 10개 풍선껌 중 7개가 노란색이었다고 합시다 다시 이를 여러 번 반복합니다 이제 여러 차례 반복 후에 얻은 결과를 점 도표 혹은 점 분포도로 그릴 수 있습니다 이제 여러 차례 반복 후에 얻은 결과를 점 도표 혹은 점 분포도로 그릴 수 있습니다 나올 수 있는 총 경우의 수는 0부터 10이 되겠습니다 10개 풍선껌 중 1 2 3... ... 8 9 10개가 노란색일 경우를 말합니다 이제 표본비율이 0.3인 경우는 10개 중 3개가 노란색인 경우에 해당하겠죠 이제 표본비율이 0.3인 경우는 10개 중 3개가 노란색인 경우에 해당하겠죠 이제 표본비율이 0.3인 경우는 10개 중 3개가 노란색인 경우에 해당하겠죠 마찬가지로 0.7인 경우는 여기에 점을 찍으면 됩니다 또 다른 표본에서 0.7의 비율을 얻었다면 여기에 점을 한 번 더 찍으면 되겠습니다 이제 표본을 여러 번 얻어 이 비율을 여러 차례 계산해 이 점도표에 각각의 값을 그린다면 표본 개수가 많아질 수록 더 나은 표본비율분포를 얻을 수 있습니다 표본 개수가 많아질 수록 더 나은 표본비율분포를 얻을 수 있습니다 만약 표본비율에 대한 표본분포를 얻었다면 이 분포의 특징을 어떻게 묘사할 수 있을까요? 이 표본분포의 평균값과 표준편차는 어떻게 될까요? 이 표본분포의 평균값과 표준편차는 어떻게 될까요? 앞서 적은 바로 이 공식에서 얻을 수 있습니다 표본비율에 대한 평균값은 X/n의 평균값과 같습니다 표본비율에 대한 평균값은 X/n의 평균값과 같습니다 표본비율에 대한 평균값은 X/n의 평균값과 같습니다 표본비율에 대한 평균값은 X/n의 평균값과 같습니다 그리고 이 값은 무엇과 같나요? X의 평균값은 n ・ p와 같죠 X의 평균값은 n ・ p와 같죠 따라서 X/n의 평균값은 p가 되겠습니다 이는 직관적으로 이해하기 쉽습니다 표본으로부터 얻은 표본비율의 예상값은 실제 모집단에서의 노란색 풍선껌의 비율과 같아야 합니다 실제 모집단에서의 노란색 풍선껌의 비율과 같아야 합니다 따라서 이 평균값은 왜곡되거나 편중되지 않은 추정치라고도 할 수 있습니다 따라서 이 평균값은 왜곡되거나 편중되지 않은 추정치라고도 할 수 있습니다 이제 표본비율의 표준편차에 대하여 생각해 봅시다 이제 표본비율의 표준편차에 대하여 생각해 봅시다 이는 다시 말해 X/n의 표준편차입니다 이는 다시 말해 X/n의 표준편차입니다 이 값은 n × p × (1 - p)의 제곱근 값을 n으로 나눈 값과 같습니다 이 값은 n × p × (1 - p)의 제곱근 값을 n으로 나눈 값과 같습니다 이제 분모에 있는 n을 근호 안으로 넣으면 이제 분모에 있는 n을 근호 안으로 넣으면 이 식은 n × p × (1 - p)/n²의 제곱근 값과 같습니다 이 식은 n × p × (1 - p)/n²의 제곱근 값과 같습니다 분자와 분모의 n을 약분하면 결과적으로 이는 p × (1 - p)/n의 제곱근 값과 같습니다 결과적으로 이는 p × (1 - p)/n의 제곱근 값과 같습니다 모집단의 모수가 0.6으로 주어진 이 상황에서 모집단의 모수가 0.6으로 주어진 이 상황에서 모집단의 모수가 0.6으로 주어진 이 상황에서 표본의 평균값은 0.6 즉 실제 모수와 같습니다 표본의 평균값은 0.6 즉 실제 모수와 같습니다 표본이 가지는 비율의 표준편차는 얼마인가요? 표본이 가지는 비율의 표준편차는 얼마인가요? 0.6 × 0.4/10 의 제곱근을 계산기를 이용하여 계산해보면 0.6 × 0.4/10 의 제곱근을 계산기를 이용하여 계산해보면 0.6 × 0.4/10 의 제곱근을 계산기를 이용하여 계산해보면 0.6 × 0.4/10 의 제곱근을 계산기를 이용하여 계산해보면 0.6 × 0.4/10 의 제곱근을 계산기를 이용하여 계산해보면 대략 0.15가 나옵니다 대략 0.15가 나옵니다