표본비율의 확률 예제

전체 1750명 학생 중 15%가 지난 한 달 동안 심각한 스트레스를 경험했다고 합니다 전체 1750명 학생 중 15%가 지난 한 달 동안 심각한 스트레스를 경험했다고 합니다 전체 1750명 학생 중 15%가 지난 한 달 동안 심각한 스트레스를 경험했다고 합니다 학교의 신문팀은 이 수치를 모르는 상태에서 학교의 신문팀은 이 수치를 모르는 상태에서 임의의 학생 160명을 대상으로 지난 한 달간 심각한 스트레스를 받았는지 물었습니다 설문 결과 10%의 학생이 그렇다고 답했습니다 설문 결과 10%의 학생이 그렇다고 답했습니다 여기 문제에서 15%가 실제 비율이라고 다시 말해주고 있습니다 이 수치는 앞서 본 학생 1750명 중 심각한 스트레스를 경험한 15%를 가리킵니다 이 수치는 앞서 본 학생 1750명 중 심각한 스트레스를 경험한 15%를 가리킵니다 이 수치는 앞서 본 학생 1750명 중 심각한 스트레스를 경험한 15%를 가리킵니다 여기에 P = 0.15를 적어두도록 합시다 여기에 P = 0.15를 적어두도록 합시다 이제 문제에서는 설문조사에서 10%보다 많은 학생들이 그렇다고 답했을 확률을 묻고 있습니다 이제 잠시 영상을 멈추고 스스로 답을 구할 수 있는지 생각해보세요 이제 잠시 영상을 멈추고 스스로 답을 구할 수 있는지 생각해보세요 주어진 보기 항목들이 다 보이도록 스크롤을 조금 내리겠습니다 이제 함께 이 문제를 해결하기 위하여 먼저 생각해 볼 것은 표본 비율에서 얻은 표본분포입니다 표본 비율에서 얻은 표본분포입니다 먼저 표본분포가 대략 정규분포를 따른다고 하였을 때 표본의 평균괎과 표준 편차를 이용하여 해당 평균값과 표준편차를 가지는 정규분포를 얻을 수 있고 해당 평균값과 표준편차를 가지는 정규분포를 얻을 수 있고 이를 통해 구하고자 하는 확률을 어림할 수 있습니다 이를 통해 구하고자 하는 확률을 어림할 수 있습니다 먼저 표본들이 정규분포를 따른다는 것은 어떻게 확인해야 할까요? 먼저 지금까지의 배운 것에 따라 표본 크기 n × 실제 확률 p ≧ 10라는 조건과 표본 크기 n × 실제 확률 p ≧ 10라는 조건과 표본 크기 n × (1-p) ≧ 10 이라는 조건을 동시에 만족하면 표본 크기 n × (1-p) ≧ 10 이라는 조건을 동시에 만족하면 얻은 표본분포는 대략 정규분포를 따른다고 할 수 있습니다 얻은 표본분포는 대략 정규분포를 따른다고 할 수 있습니다 이 문제에서 신문팀은 160명의 학생을 대상으로 설문을 진행하였으므로 표본 크기 n = 160이 되고 모비율 p는 0.15 였습니다 둘의 곱은 10 이상이어야 하는데 이를 계산하면 n × p = 24이고 이를 계산하면 n × p = 24이고 이는 10보다 큰 값이므로 이 조건은 만족함을 확인하였습니다 또한 n × (1 - p), 즉 150 × 0.85는 물론 10보다 큰 값이 될 겁니다 또한 n × (1 - p), 즉 150 × 0.85는 물론 10보다 큰 값이 될 겁니다 또한 n × (1 - p), 즉 150 × 0.85는 물론 10보다 큰 값이 될 겁니다 이 값은 160 - 24가 되겠습니다 즉 136이므로 10보다 훨씬 큰 값이죠 결과적으로 두 조건 모두 충족되어 정규분포를 따른다고 가정할 수 있습니다 결과적으로 두 조건 모두 충족되어 정규분포를 따른다고 가정할 수 있습니다 이제 표본분포의 평균값과 표준편차를 어떻게 구할까요? 이제 표본분포의 평균값과 표준편차를 어떻게 구할까요? 우리가 표본분포의 평균값은 모비율과 같습니다 다른 영상에서 이 내용을 다루었으니 참고하기 바랍니다 즉 평균값은 0.15가 됩니다 표본비율 표본분포의 표준 편차는 √(p × (1-p) / n)입니다 √(p × (1-p) / n)입니다 이는 √(0.15 × 0.85 / 16)입니다 이는 √(0.15 × 0.85 / 16)입니다 계산기로 구해 봅시다 √(0.15 * 0.85 / 16)은 결과값이 어떻게 되나 봅시다 소수점 넷째 자리에서 반올림하여 약 0.028입니다 소수점 넷째 자리에서 반올림하여 약 0.028입니다 즉 표준편차는 약 0.028입니다 정규분포를 가정하고 있으므로 이렇게 종 모양의 분포를 그리겠습니다 이렇게 종 모양의 분포를 그리겠습니다 이 정규분포는 대략 여기에 평균을 가질 것이고 이 정규분포는 대략 여기에 평균을 가질 것이고 앞서 구했듯 이 평균은 모비율인 0.15와 같습니다 또한 표준편차는 대략 0.028로 앞서 구했죠 또한 표준편차는 대략 0.028로 앞서 구했죠 이제 알고자 하는 것은 이제 얻은 표본의 10% 이상이 지난 한 달 동안 심한 스트레스를 받았다고 답할 확률입니다 지난 한 달 동안 심한 스트레스를 받았다고 답할 확률입니다 즉 이 그래프 상에서 대략 이쯤이 되겠습니다 160명의 학생 중 그렇다고 대답할 확률이 0.10보다 큰 경우이므로 160명의 학생 중 그렇다고 대답할 확률이 0.10보다 큰 경우이므로 바로 이 영역을 알고자 하는 것입니다 이렇게 표현할 수 있겠습니다 이렇게 표현할 수 있겠습니다 이렇게 표현할 수 있겠습니다 계산을 위하여 계산기를 다시 꺼내 봅시다 계산기의 분포 함수 메뉴에서 normalcdf를 선택하겠습니다 normalcdf를 선택하겠습니다 최저값이 얼마인가요? 10%보다 큰 경우를 찾고 있으므로 최저값은 10% 즉 0.1이 됩니다 최대값은 1이 되겠죠 확률에서 얻을 수 있는 가장 큰 값은 1이니까요 확률에서 얻을 수 있는 가장 큰 값은 1이니까요 평균은 앞서 구했듯 0.15입니다 표준편차는 얼마인가요? 약 0.028이었죠 이제 값을 계산해 봅시다 그 전에 한 번 더 말하자면 AP 시험을 볼 때는 채점자들에게 여러분이 입력한 값을 실제로 알려줘야 합니다 채점자들에게 여러분이 입력한 값을 실제로 알려줘야 합니다 다시 문제로 돌아와 이 값을 구하면 대략 96%가 구해집니다 보기에서 답은 C가 되겠습니다 보기에서 답은 C가 되겠습니다 AP 시험을 볼 때는 normal CDF를 사용했고 최저값은 0.10 최대값은 1 평균값은 0.15 표준편차는 0.028을 입력했다는 것을 명시해야합니다 여러분이 어떻게 답을 구했는지 채점자들이 알 수 있도록 말입니다 이 영상이 도움이 되었으면 좋겠습니다