If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용
현재 시간:0:00전체 재생 길이:6:26

확률변수의 변환(크기 조정 및 이동)이 주는 영향

동영상 대본

확률변수 X가 있다고 합시다 X는 쇼핑 센터같은 곳에서 임의로 고른 보행자의 키를 뜻합니다 그리고 여기 확률분포가 이런 식으로 그려져 있습니다 정규분포와 같은 종 모양으로 말이죠 다른 분포가 될 수도 있지만 시각화의 문제로 인해 이 예제에서는 정규분포로 두겠습니다 그리고 이 분포의 평균은 여기에 위치하고 평균값에서 표준편차 하나 위와 표준편차 하나 아래의 위치를 그리겠습니다 이 동영상에서 하게 될 것은 이 분포에다가 다른 확률변수를 더하거나 상수를 곱했을 때 평균과 표준편차에 어떤 영향을 끼치는지 생각해 보는 것입니다 자 먼저 생각해 봅시다 만약 여기에 X와 같은 값을 가지는 Y라 불리는 다른 확률변수를 더하게 된다면 어떻게 될지를 말이죠 그리고 상수를 더할 것입니다 여기에 어떤 상수를 더했다고 합시다 여기에 어떤 상수를 더했다고 합시다 k로 나타내겠습니다 이건 확률변수가 아닙니다 상수입니다 숫자 10이 될 수도 있습니다 만약 이게 쇼핑센터에 있는 임의의 보행자의 키를 나타낸다면 Y는 어떤 이유로던지 그 사람의 키에 10인치를 더한 것을 나타냅니다 Y는 어떤 이유로던지 그 사람의 키에 10인치를 더한 것을 나타냅니다 사람들이 헬멧이나 모자를 쓴 후의 사람들이 헬멧이나 모자를 쓴 후의 키의 분포를 알고 싶었을 수도 있겠네요 이게 어떤 영향을 끼칠까요? Y의 평균과 표준편차는 x와 어떤 관계일까요? 이걸 시각화 해 봅시다 Y의 분포는 어떤 모습이 될지 봅시다 이것 대신에 이 분포의 중심 대신에 Y의 평균은 여기 오른쪽으로 옮겨지게 됩니다 k만큼 옮겨지겠죠 움직여 봅시다 전체 분포가 오른쪽으로 움직이게 됩니다 이 예시에서 k만큼 말이죠 k를 좀 크게 만들어 봅시다 그러면 아마 이렇게 생겼을 겁니다 이건 확률변수 Y의 분포입니다 그리고 정확히 k만큼 오른쪽으로 움직인 것을 볼 수 있습니다 오른쪽으로 k만큼 움직였지만 왼쪽으로 k만큼 움직인다면 -k를 더하거나 k를 빼는 일이 됩니다 그리고 이건 평균을 바꾸게 됩니다 평균은 k만큼 커졌습니다 그러니 이렇게 쓸 수 있습니다 확률변수 Y의 평균값은 X의 평균값에다가 k를 더한 값이 됩니다 k를 더한 값이 됩니다 그것을 여기서 확인할 수 있습니다 하지만 표준편차가 바뀌나요? 표준편차는 평균으로부터 얼마나 퍼져있는지를 나타내기 위한 척도이고 바뀌지 않았습니다 확률변수 X에 대해서 여기 이 길이가 표준편차가 됩니다 이건 이 분포에서의 표준편차와 같습니다 이게 여기서의 표준편차입니다 확률변수 Y의 표준편차와 같WY 그러니 확률변수 Y의 표준편차가 확률변수 X의 표준편차와 같다고 할 수 있습니다 만약 확률변수에 단순한 덧셈을 한다면 이는 평균값을 바꾸지만 표준편차는 바꾸지 않습니다 여기서 시작적으로 볼 수 있습니다 이제, 이 확률변수에 상수를 곱하면 어떻게 될까요? 다른 확률변수가 있다고 하고 Z라고 부릅시다 그리고 Z는 X에 어떤 상수를 곱한 것과 같다고 합시다 그리고 k는 확률변수가 아닙니다 그냥 어떤 숫자입니다 숫자 2일 수도 있습니다 어떤 일이 벌어질지 봅시다 X의 분포를 다시 그려 봅시다 만약 k가 2라면 이 분포는 2배만큼 늘어질 것입니다 이 분포는 2배만큼 늘어질 것입니다 이 분포는 2배만큼 늘어질 것입니다 왜냐하면 넓이는 언제나 1이기 때문에 2배로 납작해져서 같은 면적을 같도록 맞춰질 것이기 때문입니다 그러니 이렇게 그릴 수 있습니다 먼저 이 분포를 이렇게 늘리면 아 조금 짧게 그렸네요 2배 정도 늘리면 여기서 2배만큼 늘어난다는 사실이 중요합니다 여기 축을 표시해보죠 알아볼 수 있게 말이죠 그럼 이런 분포가 나올 것입니다 어떤 확률분포를 늘리면 이런 분포가 나오게 됩니다 이 분포는 확률변수 Z가 나타내는 분포입니다 여기서 다른 색으로 두 가지가 명확하게 보이게 해보죠 먼저, 평균이 움직였습니다 여기서의 평균이 밀려졌습니다 확실하게 증가한 걸 알 수 있습니다 하지만, 표준편차 또한 증가했습니다 여기서 Z의 표준편차는 기존보다 증가했고 이는 정확히 k배 만큼 늘어났습니다 그러니 이 길이는 k에다 X의 표준편차를 곱한 값이 됩니다 그리고 이건 평균도 마찬가지입니다 여기에 적어보죠 확률변수 Z의 평균값은 또한 증가했고 확률변수 X의 평균에 정확히 k배 만큼 증가했습니다 여기서 큰 결과가 나옵니다 만약 어떤 확률변수에 상수를 더한 확률변수를 가지고 있다면 그것의 평균은 상수만큼 움직이지만 표준편차는 그대로입니다 만약 어떤 확률 변수에 상수를 만약 어떤 확률 변수에 상수를 곱하게 된다면 표준편차와 평균에 모두 영향을 끼쳐 상수를 곱한 값으로 바뀌게 됩니다