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기하변수의 기댓값에 대한 증명

동영상 대본

기하확률변수 혹은 확률변수의 정의를 다시 떠올려 봅시다 기하확률변수 혹은 확률변수의 정의를 다시 떠올려 봅시다 기하확률변수는 특정한 독립적인 사건이 일어날 확률이 p일 때 기하확률변수는 특정한 독립적인 사건이 일어날 확률이 p일 때 그 특정 사건이 일어날 때까지의 시행 횟수를 이릅니다 이전에 기하확률변수를 이렇게 정의했습니다 이전에 기하확률변수를 이렇게 정의했습니다 이 영상에서의 목표는 기하확률변수의 기대값이 무엇인지 이해하는 것입니다 기하확률변수의 기대값이 무엇인지 이해하는 것입니다 이후 영상에서는 공식을 사용하여 기대값을 얻는 법을 배울텐데 공식을 사용하여 기대값을 얻는 법을 배울텐데 이번 영상에서는 수학적 증명을 다루어 보고자 합니다 먼저 기하확률변수의 기대값은 한 번의 시행에서 사건이 일어날 확률의 역수입니다 한 번의 시행에서 사건이 일어날 확률의 역수입니다 이제 이를 증명해 보도록 합시다 임의의 기하확률변수 X의 기대값은 가능한 X의 값과 그 특정값이 나올 확률의 곱이 될 것입니다 가능한 X의 값과 그 특정값이 나올 확률의 곱이 될 것입니다 X = 1일 확률 × 1 + X = 2일 확률 × 2 같은 식으로 X = 1일 확률 × 1 + X = 2일 확률 × 2 같은 식으로 X = 1일 확률 × 1 + X = 2일 확률 × 2 같은 식으로 X = 1일 확률 × 1 + X = 2일 확률 × 2 같은 식으로 항을 계속 더해주면 됩니다 항을 계속 더해주면 됩니다 이어서 X = 3 혹은 X = 4일 경우 등 가능한 기하변수의 값과 그 값이 나올 확률을 곱한 항을 더해주면 되는 겁니다 가능한 기하변수의 값과 그 값이 나올 확률을 곱한 항을 더해주면 되는 겁니다 하지만 X = 0일 경우는 사건이 아예 일어나지 않는 경우이므로 포함하지 않습니다 그렇다면 결국 이 값은 어떻게 될까요? 이 식을 더 구체적으로 표현해봅시다 첫 번째 시행에서 원하는 사건이 발생할 확률은 얼마일까요? 첫 번째 시행에서 원하는 사건이 발생할 확률은 얼마일까요? 여기에 적어보도록 합시다 그 값은 p가 될 것입니다 이 항의 값은 어떻게 될까요? 첫 번째 시행에서는 사건이 일어나지 않고 두 번째 시행에서 사건이 일어날 확률을 알고자 합니다 첫 번째 시행에서 사건이 일어나지 않을 확률은 1 - p가 될 것이고 여기에 두 번째 시행에서 사건이 일어날 확률인 p를 곱한 값이 됩니다 그 뒤의 몇 개 항을 더 계산해 봅시다 여기를 지우고 항을 더 써보죠 이 항은 X = 3일 확률에 3을 곱한 값이 됩니다 이 항은 X = 3일 확률에 3을 곱한 값이 됩니다 그 뒤는 마찬가지로 이어집니다 이 값은 어떻게 될까요? X = 3일 확률은 두 번의 시행에서 사건이 일어나지 않을 확률 두 번의 시행에서 사건이 일어나지 않을 확률 즉 (1-p)²에 한 번의 성공적인 시행의 확률을 곱해주면 됩니다 전반적인 개념을 이해했을 거라 생각합니다 이제 이 식을 조금 단순화 시켜보려고 합니다 이제 이 식을 조금 정리해 보려고 합니다 구하고자 한 기하변수 X의 기대값 E(X)는 구하고자 한 기하변수 X의 기대값 E(X)는 p + 2 ∙ p ∙ (1 - p) + 3 ∙ p ∙ (1 - p)²입니다 p + 2 ∙ p ∙ (1 - p) + 3 ∙ p ∙ (1 - p)²입니다 p + 2 ∙ p ∙ (1 - p) + 3 ∙ p ∙ (1 - p)²입니다 그리고 이후의 항들이 끝없이 이어질 것입니다 그렇다면 이 항들의 합을 어떻게 구할 수 있을까요? 이제 약간의 수학적 속임수를 쓸텐데 물론 이 식의 본질은 변하지 않습니다 여러분이 무한기하급수의 합을 구하는 영상을 찾아 본다면 여러분이 무한기하급수의 합을 구하는 영상을 찾아 본다면 굉장히 비슷한 기술을 쓴다는 것을 알아차릴 것입니다 가장 먼저 (1 - p) ∙ E(X)의 값을 생각해 봅시다 가장 먼저 (1 - p) ∙ E(X)의 값을 생각해 봅시다 적어볼까요? (1 - p) ∙ E(X)를 구하기 위해 (1 - p) ∙ E(X)를 구하기 위해 앞서 구한 E(X)의 모든 항에 (1 - p)를 곱해 보겠습니다 앞서 구한 E(X)의 모든 항에 (1 - p)를 곱해 보겠습니다 결국 이 항은 1 ∙ p ∙ (1 - p)가 될 것이고 1 ∙ p ∙ (1 - p)가 될 것이고 2 ∙ p ∙ (1 - p) 항에 (1 - p)항을 곱하면 2 ∙ p ∙ (1 - p) 항에 (1 - p)항을 곱하면 2 ∙ p ∙ (1 - p)²이 됩니다 2 ∙ p ∙ (1 - p)²이 됩니다 이제 여러분이 대충 짐작할 수 있듯이 이제 여러분이 대충 짐작할 수 있듯이 이런 식으로 모든 항에 (1-p) 항을 곱해주면 이런 식으로 모든 항에 (1-p) 항을 곱해주면 정말 재미있는 일이 생깁니다 적어도 수학적으로요 이 우변을 이렇게 표현한 후 이제 앞서 구한 식을 양변에서 빼 보도록 합시다 즉 좌변은 E(X) - (1 - p) ∙ E(X)가 됩니다 즉 좌변은 E(X) - (1 - p) ∙ E(X)가 됩니다 즉 좌변은 E(X) - (1 - p) ∙ E(X)가 됩니다 즉 좌변은 E(X) - (1 - p) ∙ E(X)가 됩니다 단순히 위 좌변에서 아래 좌변 값을 뺀 것입니다 이제 우변을 살펴보겠습니다 위의 우변에서 아래 우변을 빼줄텐데 이 아래 우변의 첫 번째 항과 위 우변의 두 번째 항이 같으므로 이 위 우변의 두 번째 항과 아래 우변의 첫 번째 항이 같으므로 이를 빼주면 이를 빼주면 먼저 위 우변의 첫 번째 항은 그대로 내려옵니다 그 다음 2p ∙ (1 - p) − 1p ∙ (1 - p)는 그 다음 2p ∙ (1 - p) − 1p ∙ (1 - p)는 1p ∙ (1 - p)가 됩니다 1p ∙ (1 - p)가 됩니다 그 다음 두 항을 서로 빼주면 1p ∙ (1 - p)²이 남습니다 이후 항들도 이런 식으로 계산할 수 있습니다 이제 식을 정리해 보도록 하겠습니다 괄호 앞의 음의 부호는 괄호 내부의 부호를 바꾸면서 양의 부호로 바꿀 수 있습니다 이 좌변을 계산할텐데 이 좌변을 계산할텐데 이전에 우선 스크롤을 조금 내려 공간을 더 만들도록 하겠습니다 다시 돌아와서 분배법칙을 사용하여 괄호를 풀면 E(X) + p ∙ E(X) − E(X)가 됩니다 E(X) + p ∙ E(X) − E(X)가 됩니다 이 두 항은 상쇄되어 p ∙ E(X)가 남고 이 좌변은 p + p ∙ (1 - p) + p(1 - p)²... 꼴로 표현된 p + p ∙ (1 - p) + p(1 - p)²... 꼴로 표현된 우변의 값과 같아야 합니다 이제 좌변을 다시 한 번 살펴보면 E(X)에 대한 식으로 나타내기 위하여 양변을 p로 나누어주면 되는 것을 알 수 있습니다 양변을 p로 나누어주면 매우 깔끔한 식을 얻을 수 있습니다 이것이 바로 수학적 기술입니다 이제 양변의 모든 항을 p로 나누어 봅시다 좌변에는 알고자 하는 X의 기대값 E(X)만 남고 우변의 모든 항을 p로 나누면 첫 번째 항은 1이 되고 두 번째 항은 1 - p 세 번째 항은 (1 - p)²이 되며 이후의 항도 이러한 꼴로 나타낼 수 있습니다 이 식에서 찾을 수 있는 정말 놀라운 것은 바로 이 식은 공비가 1 - p인 기하급수의 합과 같다는 것입니다 바로 이 식은 공비가 1 - p인 기하급수의 합과 같다는 것입니다 기하확률변수에서 기하라는 이름이 붙는 이유도 기하확률변수에서 기하라는 이름이 붙는 이유도 이러한 점 때문인데 만약 기하급수가 익숙하지 않다면 관련 영상을 찾아보기를 적극 권장합니다 관련 영상을 찾아보기를 적극 권장합니다 다른 영상들에서 이미 굉장히 비슷한 논거를 사용하여 수렴하는 기하급수의 합은 (1 - 공비)의 역수가 된다는 것을 보였습니다 수렴하는 기하급수의 합은 (1 - 공비)의 역수가 된다는 것을 보였습니다 그리고 이 식에서 공비는 1 - p이므로 이 값은 1 - (1 - p)의 역수가 됩니다 자 이제 다 끝났습니다 괄호 안의 값을 꺼내면 분모는 1 - 1 + p가 되고 결국 1/p가 됩니다 이로써 매우 멋진 수학적 기술을 사용하여 이로써 매우 멋진 수학적 기술을 사용하여 독립 사건이 발생할 확률이 p인 기하확률변수의 기대값은 1/p 임을 증명하였습니다