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누적 기하학적 확률 (값보다 작음)

동영상 대본

릴리아나는 케익 장식 사업을 운영하고 있습니다 맡겨지는 주문의 10%는 전화주문입니다 한 달 동안 첫 번째 전화 주문이 오기 전까지 릴리아나가 받는 케익 주문건수를 C라고 합시다 각각의 케익 주문은 독립적인 사건이라고 가정하겠습니다 만약 몇몇 가정을 만든다면 C는 전형적인 기하확률변수가 됩니다 어떻게 아냐고요? 이것에 주목하세요 독립적인 시행을 계속 하며 그 특정 사건이 일어날 확률은 상수이고 이 확률이 0이 아니라는 점입니다 문제에서 원하는 사건은 전화 주문입니다 이 사건이 일어날 확률은 10%라고 했습니다 그리고 이 전화 주문이 생기기 전까지 생기는 주문들을 세는 것입니다 따라서 이 C는 기하확률변수입니다 이제 문제에서 묻는 것은 한 달 동안의 주문에서 첫 번째 전화 주문이 생기기 이전에 릴리아나가 받는 주문이 5건 이하일 확률입니다 결국 C가 5보다 작을 확률을 묻는 것입니다 이제 동영상을 멈추고 스스로 해결해 보세요 어렵더라도 시도해 보는 것이 함께 문제를 푸는 준비를 하는데에도 도움이 될 겁니다 좋습니다 여러분이 스스로 시도해 보았을 것이라 믿습니다 문제를 해결하는데에는 몇 가지 방법이 있습니다 첫 번째로 구하고자 하는 C가 5보다 작을 확률은 C = 1일 확률 C = 2일 확률 C = 3일 확률 C = 4일 확률을 다 더한 값이라는 것을 쉽게 생각해 낼 수 있습니다 C = 1일 확률은 얼마일까요? 바로 릴리아나가 받은 가장 첫 번째 주문이 전화주문일 확률이니 0.1이 됩니다 C = 2일 확률은 어떤가요? 먼저 릴리아나가 받은 첫 번째 주문은 전화주문이 아닐 확률을 생각해야 합니다 모든 경우의 수에서 10 를 제외해야 하므로 90%의 확률로 첫 번째 주문은 전화주문이 아닐 것입니다 이제 두 번째 주문이 전화주문일 확률 10%를 곱해주면 됩니다 C = 3일 확률은 어떻게 될까요? 첫 번째와 두 번째 주문은 전화 주문이 아니고 세 번째 주문이 전화주문일 확률을 구해주면 됩니다 C = 4일 확률도 마찬가지로 첫 세 번의 주문은 전화주문이 아니고 네 번째 주문이 전화주문일 확률을 구해주면 됩니다 이제 계산기를 찾아서 각각의 확률을 모두 더해주면 원하는 답을 얻을 수 있습니다 하지만 보다시피 계산기에 입력하기 다소 귀찮은 식입니다 조금 더 쉬운 방법이 없나 궁금증이 생길겁니다 그리고 실제로 더 쉬운 방법이 있습니다 생각해 봅시다 C < 5일 확률은 결국 첫 네 번의 주문이 모두 전화 주문이 아닐 확률을 전체 확률 1에서 뺀 값과 같습니다 적어보겠습니다 1 - 첫 네 번의 주문 모두 전화주문이 아닐 확률 1 - 첫 네 번의 주문 모두 전화주문이 아닐 확률 1 - 첫 네 번의 주문 모두 전화주문이 아닐 확률 이게 맞는지 생각해 봅시다 C < 5 일 확률은 결국 첫 네 번의 주문 중에서 전화 주문이 생길 확률을 말합니다 따라서 이는 곧 전체 확률 1에서 첫 네 번의 주문 중 전화주문이 없을 확률을 뺀 값과 같게 됩니다 그리고 이는 계산하기가 훨씬 간편합니다 이 식은 다음과 같이 전개할 수 있습니다 다른 색의 펜을 쓰겠습니다 다른 색의 펜을 쓰겠습니다 그럼 첫 네 번의 주문 중 전화 주문이 없을 확률은 어떨까요? 그럼 첫 네 번의 주문 중 전화 주문이 없을 확률은 어떨까요? 전화주문이 아닐 확률은 0.9로 주어졌습니다 전화주문이 아닐 확률은 0.9로 주어졌습니다 이제 이 사건이 연달아 네 번 일어날 확률은 0.9를 네 번 곱한 값이 됩니다 (0.9)⁴으로 적겠습니다 이제 계산하기가 훨씬 편해졌습니다 계산기를 꺼내 입력해보죠 0.9⁴ = 0.6561입니다 1에서 이 값을 빼주어야 합니다 -0.6561 + 1로 계산해도 똑같습니다 -0.6561+1 로 계산해도 똑같습니다-0.6561 + 1로 계산해도 똑같습니다 0.3439 라는 값을 구했습니다 1 - (0.9)⁴ = 0.3439입니다 1 - (0.9)⁴ = 0.3439입니다 이 값이 바로 구하고자 했던 전화주문이 생기기 전까지의 주문이 5건 이하일 확률입니다 전화주문이 생기기 전까지의 주문이 5건 이하일 확률입니다