확률변수

이번 강의에서 얘기하고자 하는 것은 확률 변수 (random variable)에 관한 개념입니다. 확률 변수를 처음 접하게 되면 좀 혼란스러울 겁니다. 왜냐면 우리가 전통적인 대수 수업을 들을 때의 '변수'의 개념으로서 확률 변수를 생각하게 되지만 사실 확률 변수는 좀 다른 의미를 갖기 때문이죠. 확률 변수는 랜덤 프로세스를 통해 나온 결과 값을 의미합니다. 예를들어 코인을 던지거나, 주사위를 던지거나, 비가 내일 올지 여부를 측정하는 등 이런것들이 랜덤 프로세스 입니다. 그저 결과물들을 숫자로 연결하는 과정입니다. 결과를 수량화 (수치화) 하는 과정인거죠. 그럼 이제 확률 변수의 예를 한번 들어볼게요 여기에 한번 정의해봅시다. 음... 우선 대문자 X로 확률 변수를 정의해볼게요. 보통 확률변수로 대문자를 사용합니다. 그래서 확률 변수 X 를 이렇게 정의할건데, 동전 앞면 (동전의 각면이 나올 확률이 같은 동전. fair coin) 이 나올 경우 1 동전 뒷면일 경우 0이라고 해볼게요 저는 그냥 제가 원하는 방식으로 정의했습니다. 이건 일반적인 동전던지기에 따른 확률 변수 정의 법이구요 물론, 앞면일때 100, 뒷면일때 703 이렇게 정의할 수도 있습니다. 이 정의도 물론 타당한 확률 변수 입니다. 1과 0으로 정의하는게 순수한 방법이 아닐수도 있찌만 이것은 확률 변수입니다. 자, 우리는 동전 던지기라는 랜덤 프로세스를 따랐습니다. 그 랜덤 프로세스의 결과를 (숫자로) 연결하고, 이를 수치화 했지요. 1은 앞면, 0은 뒷면 우리는 다른 변수를 정의해볼 수도 있습니다. 대문자 Y는 7개 주사위를 돌려서 그 합으로.. 네 7개의 합이죠. 자 정리해서, 주사위 7개를 던져서 그 윗면의 합으로 정해봅시다. 이렇게 우리는 랜덤 프로세스를 통해 결과를 수치화 해보았습니다. 여기서 랜덤 프로세스는 7개의 주사위를 던져서 나온 면의 숫자를 확인하고 그 값들을 더하는 과정을 의미합니다. 그리고 이 방법을 통해 확률 변수를 정의하였습니다. 그럼 아마도, 이런 질문을 하고싶어질 거에요 대체 이걸 왜 하는 거지? 대체 확률 변수를 정의해서 어디에 써먹을 수 있는거지? 이 대답은, 우리가 확률에 대해 좀 더 알게될 수록 점점 더 명확해 질 것입니다. 이를 이해하는 가장 쉬운 방법은 결과값을 수치화 하는 것 이라고 생각해 두도록 하죠 그리고 그 결과값에 수학적인 계산을 해볼 수도 있고 수학적 표기법으로 결과를 나타낼 수도 있지요. 예를들어, 여러분이 확률적으로 본다면 7개의 주사위를 돌려 그 윗면의 합이... 확률적으로, 그 합은 30보다 작거나 같게 됩니다. 예전 방법대로라면 확률을 구하기 위해 합이 30미만인 개수를 모두 적어야 합니다. 네 재가 여기에 적은 30 미만의 합을 모두 적어야 해요 꽤 많은 향을 적어야 할겁니다. 그리고 이걸 적게 된다면, 어떻게든 계산해 내야 합니다. 정보가 있다면 말이죠 하지만 이제는, 단순하게 확률만 적어주면 됩니다. 대문자 Y는 30보다 작거나 같다. 훨씬 깔끔한 방식이죠? 이 방법대로 한다면, 7개 주사위의 합과 같은 확률을 구해야 할 때, '그 확률은 뭐야?' 라고 말하면 되는 겁니다. 그 수많은걸 다 적는 대신에 말이죠 그리고 이렇게 말하면 됩니다. 그 확률 Y가 뭐야? 자, 제가 강조하고 싶은 한가지가 있습니다. 바로, 이전에 사용하던 '변수'와 어떻게 다른지에 대한 부부입니다. 대수 수업에서 배운 전통적인 '변수는 'x+5 = 6' 이런 소문자로 적혀진 방식입니다. y = x+7 이렇게 말이죠. 여러분은 이 변수 (x, y)에 값을 대입할 수 있습니다. 그래서 그 변수를 구할 수 있죠. 이번 문제같은 경우, x 는 미지수이고 양 변에서 5를빼서 x를 구할 수 있습니다. 그럼 x는 1 이 되는군요. 이 경우, x 가 달라진다고 해보죠 x 에 값을 대입하면, y가 달라지는걸 볼 수 있고, 이를 x 에 대한 함수라 표현합니다. 변수를 대입할 수도 있고. 값을 대입할 수도 있죠. 혹은 그 값을 구할 수도 있구요. 자, 앞의 문제에서, x 가 1이 될거라고 해보죠. 이건 확률 변수가 되지 않습니다. 확률 변수는, 정말로 많고 많고 많고 많은 값들을 가질 수 있습니다. 확률이 달라짐에 따라 다른 값을 갖게 되는 것이죠. 좀 더 쉽게 이해해 보자면, '확률' 또는 '어떤 값을 갖는 확률 변수', 또는 '어떤 값보다 크거나 작은 확률', 또는 '어떤 속성을 갖는 확률' 등과 같은 식으로 이해하는 겁니다. 다양한 방식으로 정의되는 것을 볼 수 있는데요, 다음 비디오에서, 이 논의를 좀더 진행해 보려고 합니다. 그리고 확률 변수의 여러 유형에 대해서도 좀더 알아보겠습니다.