이산확률변수의 평균(기댓값)

자, 확률변수 X를 정의합시다 x는 한 주에 하는 운동 횟수를 뜻합니다 그럼 여기에 있는 이 표는 X의 확률분포를 나타냅니다 그리고 여길 보면 x는 0,1,2,3,4등 유한한 종류의 값만 가능하고 그 이유 때문에 우리는 x를 이산확률변수라고 부릅니다 그리고 모든 확률 분포의 합이 1이기 때문에 이는 가능한 분포입니다 0.1 + 0.15 + 0.4 + 0.25 + 0.1은 1입니다 0.1 + 0.15 + 0.4 + 0.25 + 0.1은 1입니다 0.1 + 0.15 + 0.4 + 0.25 + 0.1은 1입니다 그리고 이 값들은 모두 음수가 아니기 때문에 조건에 알맞습니다 하지만 이 영상에서 고려해야 할 것은 이 확률 변수의 기댓값입니다 이렇게 표현할 수 있죠 이 문제에 대해 생각하는 한 가지 방법은 이 확률 변수에 대한 기대값을 구하게 되면 주어진 주에 얼마나 운동을 할지 예상 횟수를 알 수 있게 됩니다 이건 또 다른 의미로 확률변수의 평균을 뜻합니다 여기, 그리스 문자 mu로 평균을 표시합니다 아무튼, 이게 확률변수의 평균입니다 어떻게 이걸 계산할까요? 이 값을 계산하기 위해 확률값을 가중치로 하는 확률변수의 가중합을 계산할 것입니다 예를 들어, 첫 번째 결과는 0이 나오기 때문에 여기에 확률값 0.1을 가중치로 주면 0 x 0.1이 됩니다 0 x 0.1이 됩니다 그리고 다음 결과인 1에 0.15의 확률을 가중치로 곱한 것을 더합니다 1 x 0.15를 더하고 1 x 0.15를 더하고 여기에 다음 결과인 2와 0.4의 확률을 곱해서 더하죠 2 x 0.4를 더해 줍니다 2 x 0.4를 더해 줍니다 2 x 0.4를 더해 줍니다 다음 결과인 3은 0.25의 확률을 가지니 3 x 0.25를 더합니다 3 x 0.25를 더합니다 마지막으로 4번의 운동을 할 확률은 0.1이기 때문에 4 x 0.1을 더합니다 4 x 0.1을 더합니다 자 이 식을 간단하게 해 봅시다 0에다 무언가 곱하면 0이고 1 x 0.15는 0.15입니다 2 x 0.4는 0.8이고 2 x 0.4는 0.8이고 3 x 0.25는 0.75 입니다 3 x 0.25는 0.75 입니다 그리고 4 x 0.1은 0.4죠 이제 이걸 다 더해줍시다 그러면 .15 + .8 + .75 + .4는 .15 + .8 + .75 + .4는 .15 + .8 + .75 + .4는 .15 + .8 + .75 + .4는 이렇게 씁시다 0.15 + 0.8 + 0.75 + 0.4는 이렇게 씁시다 0.15 + 0.8 + 0.75 + 0.4는 이렇게 씁시다 0.15 + 0.8 + 0.75 + 0.4는 다 더하면 5 + 5는 10입니다 그리고 2 + 8은 10이고 거기에 7을 더하면 17 4를 더하면 21입니다 그러니 이 값은 2.1이 됩니다 이 결과에서 알 수 있는 것은 X의 기댓값 한 주 동안 운동 횟수의 예상값이 이 확률 분포에서 2.1이란 뜻 입니다 그렇지만 답을 말하기 전에 잠시만 기다려 보세요 이 모든 결과값들은 자연수입니다 어떻게 한 주에 2.1회의 운동을 할 수 있나요? 0.1번의 운동은 무엇일까요? 이것은 한 주 동안 정확히 2.1회의 운동을 한다는 말은 아닙니다 하지만 이 값이 의미가 있는 이유는 10주동안 21회의 운동을 할 것이라고 예상할 수 있기 때문입니다 때론 운동을 안 할 수도 있고, 때론 한 번 때론 두 번, 때론 세 번, 네 번 할 수도 있지만 100주동안 210회의 운동을 할 것이라고 예상할 것입니다 그러므로 정수값만을 가지는 확률변수라고 해도 정수가 아닌 기댓값을 가질 수 있고 이는 여전히 유용합니다