확률분포표 예제: 요거트 아이스크림

당신이 얼린 요거트를 매우 좋아한다고 합시다 그래서, 매일 수업이 끝나면 요거트 가게를 가기로 결심합니다 정확히 오후 4시에 당신은 얼린 요거트를 매우 좋아하기 때문에 줄서서 기다리는걸 별로 좋아하지 않습니다 당신은 참을 수가 없습니다 가게에 도착하면 당장 얼린 요거트가 나오기를 원합니다 그래서 연구를 하나 해보기로 합니다 수업을 마치고 정확히 오후 4시에 요거트 가게를 갔을 때 줄을 얼마나 서게 되는지 확률을 알아보고자 합니다 당신의 연구에는 50번의 관찰이 필요합니다 오후 4시에 요거트 가게를 갔을때 일련의 관측들을 합니다 대기줄의 규모를 관찰 합니다 여기에 두개의 칼럼을 만들겠습니다 기다리는 사람의 숫자가 왼쪽 칼럼에 들어가고 오른쪽 칼럼에는 관찰된 횟수를 쓰겠습니다 관찰된 횟수 제가 쓴 글자는 O-B-S-E-R-V-E-D, 관찰된 네, 관찰된 횟수 입니다 자, 이제 생각해 봅시다 당신이 가게로 가서 보세요 나는 줄을 선 사람을 아무도 못 보았다, 즉, 정확히 줄에 아무도 없는 경우 즉, 대기자가 0일 경우를 24번 관찰하고, 1명이 기다리는 것을 18번 보고, 2명이 기다리는 것을 8번 봅니다 50번을 관찰했는데, 대기자가 2명을 초과하는 경우는 없습니다 제가 보기엔 얼린 요거트 가게의 점원이 일을 효율적으로 하는 것 같아요 당신이 관찰한 것을 바탕으로 해서 확률에 대한 어떤 것을 추측할 수 있을까요? 아무도 없을 확률, 한 사람이 기다릴 확률, 혹은 두 사람이 대기할 확률 날마다 수업을 마치고, 오후 4시에 요거트 가게를 간다면 당신은 학기 중 평일에만 요거트 가게를 갑니다 자, 기다리는 사람이 아무도 없을 확률은 얼마일까요 ? 한 명이 대기하는, 혹은 두명이 대기하는 확률은 ? 당신이 학기중에 4시에 방문했을 경우에 말이죠 당신이 할 수 있는 방법은 실제 확률을 추측해 보는 겁니다 정확한 이론적 확률 당신은 그것이 어떻게 될 지 모릅니다 하지만 당신은 50번의 관찰을 했습니다 모두 다 더하면 50이 되지요 18 더하기 8은 26, 26 더하기 24는 50 그래서 당신은 계산해낼 수 있습니다 0명이 대기할 경우의 상대 도수는 얼마일까요 ? 1명이 대기할 경우의 상대 도수는, 혹은, 2명이 대기할 경우의 상대 도수는 얼마일까요 ? 우리는 이것을 확률에 대한 추정으로 이용할 수 있습니다 자, 이제 해봅시다 확률 추정 칼럼을 하나 더 추가하겠습니다 추정된 확률 그리고 한 번 더, 우리는 이것을 상대 도수를 봄으로써 알아낼 수 있습니다 0의 상대 도수는 50번 중에 24번 관찰되었으므로 24 나누기 50은 0.48 혹은 48% 라고 말할 수 있습니다 1명이 대기열에 있는 경우의 상대도수는 얼마일까요 ? 50번 중에 18번 관찰되었으므로 상대 도수는 18 나누기 50은 0.36 이고 전체 방문 수 중 36% 에 해당합니다 그리고 마지막으로 두명이 줄을 서서 기다릴 경우는 50번 중에 8번 이므로 0.16 전체의 16% 와 같습니다 여기에 흥미로운 사실이 있는데요, 이것들은 확률에 대한 추정이라는 걸 기억하시고 기본적으로 서로 다른 50일간의 대기줄이 어떻게 되는지 데이터를 모아서 작업한 것입니다 매번 정확히 이렇게 되지는 않겠지만 50번의 관찰을 했기 때문에 좋은 추정치가 될 수 있습니다 그래서 이 관찰에 근거하여 당신은 이렇게 말할 수 있겠지요 대기자가 아무도 없을 때의 확률은 48% 로 추정하고 1명이 기다릴 확률은 36%, 2명이 기다릴 확률은 16% 혹은 0.16 일 것이다 이것들은 타당한 확률이라는 걸 아는 것이 중요합니다 기억하세요, 확률이 되기 위해서는 값이 반드시 0 과 1 사이에 있어야 하고 모든 가능한 사건들을 보았을 때 모두 다 더하면 1이 되어야 합니다 왜냐하면 최소한 당신의 관찰을 살펴보면 이것들이 확률이고, 현실에서는 이것들이 이상한 숫자가 되겠지만요 더 많은 사람들이 줄을 서겠지요 하지만 당신의 관찰에 의하면 세 개의 다른 사건이 존재하고 당신이 관찰한 것은 3가지 사건만 존재하므로 이 3개를 더하면 1이 되어야 하는데 더해보니 실제로 1이 됩니다 봅시다, 36 더하기 16은 52 52 더하기 48, 다 더하면 1이 됩니다 자, 이제 이것을 해봤으니 좀 더 재미있는 걸 할 수 있겠군요 당신은, 그럼요, 향후 2년 동안 500번 방문할 계획입니다 라고 말하겠지요 500번 방문을 했을 때 이전 관찰 결과에서 나온 대기자가 없을 경우, 1명 있을 경우, 2명 있을 경우의 확률을 이용한다면 다음 500번의 방문에서 2명이 대기할 경우는 몇 번 일어난다고 예상합니까 ? 지금까지의 관찰 결과를 바탕으로 한다면 글쎄요, 이렇게 말하면 타당하겠죠 500번 방문했을 때 두 명이 대기열에 있을 경우는, 500 회 곱하기, 그리고 과정이 타당해야겠지요, 당신이 측정한 확률 예상값을 이용하면 전체 중에 2명이 대기할 확률은 0.16 이므로, 또는 50번 중에 8번 이므로 ( 500 곱하기 ) 8 나누기 50 결과는 어떻게 될까요 ? 500 나누기 50은 정확히 10 이므로 당신은 두 명이 줄을 서서 기다리는 것을 500번 방문하면 80번 볼 것이라고 예상할 수 있습니다 정확하게 하기 위해서, 실제로 정확히 80 번 발생한다면 저는 충격을 받을거예요 당신의 관찰에 바탕을 둔 좋은 예상값이긴 합니다만 이건 확실히 가능합니다 일단, 당신의 관찰은 off 합니다 알다시피, 이런 많은 혹은 적은 경우에, 두 명이 기다리는 것을 우연히 관찰하게 되는, 무작위로 발생하는 현상입니다 그래서 off 하다고 할 수 있죠 이것이 매우 좋은 경우의 예상값이라 하더라도 500번 중에 두 명이 대기하는 것을 85번 보게 될지도 모릅니다 혹은 65번 보게될 지도 모르죠 이런 모든 경우들이 가능합니다 반드시 기억해야 할 것은, 여기에서는 실제 확률을 어림잡고 있습니다 실제 확률이 얼마인지 정확히 알아내기는 매우 힘들지만, 각기 다른 날짜의 대기열을 수집한 것을 바탕으로 추정값을 계산해낼 수 있습니다 이런 관찰을 하고, 실험을 해서, 말하자면, 이런 실험에 이용된 각각의 관찰들을 이용하여 예상값을 만드는 것입니다 하지만 이것들 중 어느 것도 다음 500번 중 정확히 80번이 일어날 것이라고 확신할 수는 없습니다