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확률변수 합과 차의 평균

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여기 확률변수 X가 있다고 합시다 X는 하루에 본 강아지 수를 말하고 확률변수 Y는 하루에 본 고양이 숫자를 뜻합니다 이 두 확률변수의 평균값 그러니까 기댓값을 미리 알고 있다고 합시다 X의 기댓값은 이렇게 표현할 수 있고 하루에 세 마리의 강아지를 봤다고 합시다 하루에 세 마리의 강아지를 봤다고 합시다 고양이도 마찬가지로, Y의 기댓값은 이렇게 표현할 수 있고 하루에 4마리의 고양이를 봤다고 합시다 그리고 지난 동영상에서는 확률변수의 평균값 혹은 기댓값을 어떻게 정의하는지 알아보았습니다 이제 생각해 볼 것은 X + Y의 기댓값, 두 확률 변수의 합을 어떻게 나타낼 수 있을지입니다 아직 증명하진 않았지만 확률변수를 합한 것의 기댓값은 평균값들의 합과 같습니다 그러니 이것은 X의 평균값에 Y의 평균값을 더한 것이 됩니다 그리고 이 경우 하루에 본 강아지와 고양이의 기댓값을 알고 있으니 이 두 값을 더하겠습니다 3 + 4는 7이니 이 경우 X + Y의 평균값은 3 + 4인 7이 되고 비슷하게 두 확률변수의 차이에 대해 적용한다면 하루에 얼마나 많은 고양이를 개보다 많이 보는지 알 수 있겠죠 Y-X의 기댓값은 과연 어떻게 될까요? 직관적으로 두 확률변수의 합의 평균을 구할 때는 두 확률변수의 기댓값을 더해줬기 때문에 두 확률변수의 차이의 기댓값은 두 기댓값의 차이가 될거라고 짐작할 수 있고 그것은 완벽하게 맞습니다 이는 곧 Y - X의 평균값이 Y의 평균값에서 X의 평균값을 빼준 값이 됩니다 그리고 이 경우에 이 값은 4에서 3을 빼준 1이 됩니다 이 결과는 다른 말로 하루에 한 마리 정도의 고양이를 개보다 더 보게 된다는 것입니다 이 이산확률변수에 관한 예시에서 하루에 2.2마리 혹은 π마리의 개를 보지 않았으므로 기댓값은 자연수일 필요가 없습니다 며칠동안의 평균을 내면 됩니다 하지만 합들의 평균은 평균들의 합과 같고 차들의 평균은 평균들의 차와 같습니다 다음 동영상에선 이걸 증명해보죠