독립성이 합의 분산에 중요한 이유에 대한 직관

저번 동영상에서 두 확률변수 X, Y에 대해 X, Y가 독립적이면 두 확률변수의 분산의 합이나 분산의 차는 두 분산의 합과 같다는 사실을 확인했습니다 그러니 만약 독립인 확률변수들이 존재한다면 두 확률변수를 더하거나 뺀 것의 분산은 더 증가하게 됩니다 저번에는 이것에 대한 직관적인 이해를 다루어 보았습니다 이 동영상에서 하고 싶은 것은 더 나아가서 왜 이 독립이라는 조건이 중요한지 알아보는 것입니다 그리고 그 직관을 얻기 위해 독립적이지 않은 두 개의 확률변수에 대해 살펴봅시다 자 X는 여러분이 만난 어떤 임의의 사람이 어제 잠들어 있었던 시간이라고 어제 잠들어 있었던 시간이라고 y는 그 사람이 어제 깨어있었던 시간을 뜻합니다 어제 깨어있었던 시간을 뜻합니다 그리고 이 두 값이 왜 서로 독립적이지 않은지 봅시다 하나의 값은 다른 하나의 값을 완벽히 결정합니다 만약 어제 8시간 잤다면 그 사람은 16시간 동안 깨어있었을 것입니다 만약 16시간 동안 잤다면 8시간 동안 깨어있었을 것입니다 여기서 X + Y는, X와 Y 둘 다 확률변수이고 두 변수 모두 분산을 가지고 있다고 해도 이 둘은 같은 사람에 대한 것이므로 이 둘은 같은 사람에 대한 것이므로 X + Y는 언제나 24시간과 같게 됩니다 그러니 이 둘은 독립적이지 않습니다 만약 한 변수가 주어져있고 이 변수가 다른 한 변수를 완벽히 결정할 때 어떤 변수가 특정한 값을 가지게 될 확률은 다른 한 변수가 무엇이냐에 따라 매우 달라지게 됩니다 그러니 그 둘은 독립적이지 않습니다 이 상황에서, 만약 누군가 논쟁할 거리를 제시하기 위해 X의 분산이 4와 같다고 하고 X의 분산이 4와 같다고 하고 X의 분산이 4와 같다고 하고 분산의 단위는 시간의 제곱이겠죠 분산이 4라고 하면 이 경우 X의 표준편차는 2시간이라고 할 수 있습니다 그리고 Y의 분산 아니 Y의 표준편차 또한 똑같이 2시간이라고 합시다 그러면 Y의 분산은 위에서 말한 표준편차의 제곱값이 됩니다 그러니 그 값은 4입니다 만약 여기서 여기서 배운 결과를 적용해서 여기서 배운 결과를 적용해서 독립성에 대해 고려하지 않는다면 X + Y의 분산은 X + Y의 분산은 두 분산의 합과 같고 그 결과는 4 + 4가 될 것입니다 계산한 분산이 8이 되나요? 그건 말이 되지 않습니다 왜냐하면 이미 확률변수 X + Y가 항상 24시간이 되는 것을 알기 때문입니다 실질적으로, 이는 아무런 변동성이 없습니다 X + Y는 언제나 24시간입니다 그러니 이 두 확률변수는 굉장히 관련성이 깊기 때문에 완전히 독립적이지 않고 이건 곧 0이 됩니다 이 값은 0의 분산을 가지게 됩니다 X + Y는 언제나 24가 됩니다 최소한 지구에서는 언제나 24시간일 것입니다 만약 누군가 다른 행성이나 어딘가에 산다면, 조금 다를 수 있겠습니다 그리고 지구에서의 하루는 정확히 24시간이라고 가정해야겠죠 이 결과는 직관적으로 독립성이 왜 문제가 되는지 알려줍니다 그리고 독립적이지 않은 변수들에 대해 전에 했던 논의가 왜 성립하지 않는지 알 수 있는 좋은 예시입니다