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예제: 정규분포를 따르는 두 확률변수 합 분포 분석하기

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신지는 통근할 때 연료가 부족할 것 같았습니다 연료량은 매번 통근할 때마다 정규분포를 따르지만 집에 오는 길에 사용하는 연료량은 편차가 더 큽니다 통근 때마다 사용하는 연료량은 서로 독립입니다 여기에 신지가 통근할 때마다 사용하는 연료량에 대한 통계적 요약이 나와있습니다 신지가 직장에 갈 때 평균 10L 표준편차 1.5L의 연료를 사용합니다 집에 올 때도 평균은 10L이지만 편차는 더 큽니다 즉, 산포도가 더 큽니다 표준편차가 2L입니다 연료통에 25L가 있고 신지가 직장에 갔다가 집에 돌아온다고 합시다 신지에게 연료가 부족할 확률은 얼마일까요? 흥미롭네요 신지가 출근할 때와 퇴근할 때의 연료량에 대한 분포들을 알고 있고 이 분포들은 정규분포라고 했습니다 여기를 보면 정규 분포를 따른다고 되어있죠? 하지만 문제에서 주어진 것은 출퇴근에 사용할 수 있는 총 연료량입니다 따라서 총 분포를 구해야 합니다 이것을 home and back 출퇴근이라고 하겠습니다 이것을 home and back 출퇴근이라고 하겠습니다 이것을 home and back 출퇴근이라고 하겠습니다 정규분포를 따르는 두 개의 확률변수가 있고 그 둘의 합으로 새로운 확률변수를 정의하고자 한다면 그 새로운 확률변수의 분포는 여전히 정규분포를 따르고 평균은 기존의 두 확률변수의 평균의 합과 같습니다 따라서 출퇴근의 평균은 20L가 됩니다 신지는 출퇴근에 평균 20L를 사용할 것입니다 출퇴근의 표준편차의 경우 갈 때와 올 때의 표준편차를 단순히 더할 수 없습니다 하지만 출근할 때 연료량과 퇴근할 때 연료량은 서로 독립인 확률변수들이므로 이것을 home and back 출퇴근이라고 하겠습니다 분산은 더할 수가 있습니다 독립이기 때문에 분산을 더할 수 있는 것입니다 따라서 출퇴근을 합친 분산은 출근할 때의 분산 + 퇴근할 때의 분산입니다 출근할 때의 분산 + 퇴근할 때의 분산입니다 출근할 때의 분산은 몇인가요? 1.5²이고 퇴근할 때의 분산은 몇인가요? 2²입니다 2.25 + 4 = 6.25입니다 2.25 + 4 = 6.25입니다 따라서 왕복에 대한 분산은 6.25가 됩니다 여기에 제곱근을 취하면 2.5가 됩니다 이제는 왕복에 대한 정규분포를 표현할 수 있고 이것을 문제에 대해 답하는 데 사용할 수 있습니다 이렇게 정규분포를 그려보면 이렇게 정규분포를 그려보면 평균이 20L인 것을 알고 있으므로 여기가 20L가 되고 알고 싶은 것은 연료가 부족할 확률입니다 연료가 부족하려면 25L보다 많은 연료를 필요로 해야 합니다 따라서 이 부분이 25L라면 따라서 이 부분이 25L라면 연료가 부족한 경우는 바로 여기가 됩니다 여기가 25L보다 많이 필요한 구역입니다 실제로는 연료통에는 25L가 있습니다 그러면 이 부분의 면적을 어떻게 계산할까요? 표준정규분포표를 이용할 수 있습니다 평균부터 25L까지 표준편차가 몇 개가 있을까요? 평균보다 5L 높으므로 평균보다 5L 높으므로 여기의 Z는 25 - 20을 25 - 20를 2.5로 나누면 2가 되어 이곳은 평균에서 표준편차 2배 혹은 Z-점수로는 +2라고 합니다 표준정규분포표에서 평균에서 표준편차 2배 위를 보면 평균에서 표준편차 2배 아래 쪽의 이 누적된 영역을 알려줍니다 그 넓이를 1에서 빼면 원하는 면적을 구할 수 있습니다 그러면 표준정규분포표를 봅시다 Z-점수로 정확히 2를 찾아야 하므로 2.00를 찾아보면 .9772가 나옵니다 이것은 이 면적이 0.9772임을 말하고 그러면 파란색 구역 즉, 신지에게 연료가 부족할 확률은 1 - 0.9772입니다 계산하면 얼마인가요? 계산하면 0.0228이 됩니다 맞죠? 맞는 것 같습니다 0.0228이 신지에게 연료가 부족할 확률입니다 백분율로 생각해보면 2.28%의 확률로 연료가 부족합니다