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이항확률변수 알아보기

동영상 대본

이 영상에서 배울 내용은 확률변수가 이항변수인지 아닌지를 구분하는 방법이며 칸아카데미에 있는 몇 개의 연습문제를 통해 배울 것입니다 지배인이 11명의 여자 종업원과 9명의 남자 종업원을 감독하고 있다고 합니다 출장을 갈 세 명의 종업원을 뽑아야 하는데요 그래서 지배인이 20명의 이름을 모자에 넣고 임의로 하나를 뽑게 됩니다 변수 X를 선택된 여자 종업원의 수라고 합시다 그러면 세 번의 시행을 해야겠네요 각 시행에서 그러면 성공은 여자 종업원을 뽑은 경우입니다 그리고 확률변수 X는 셋 중에 여자들의 수가 됩니다 X가 이항변수일까요? 왜 그렇거나 왜 아니죠? 영상을 잠시 멈추고 직접 문제를 풀 수 있는지 확인해 보세요 각 선택지를 확인해 봅시다 선택지 A는 각 시행이 성공 혹은 실패로 분류되지 않으므로 X는 이항변수가 아니라고 하고 있네요 저는 동의하지 않습니다 각 시행은 성공 혹은 실패로 분류됩니다 여자일 수도 있고 아닐 수도 있죠 그리고 여자 종업원의 수를 세고 있기 때문에 시행에서 여자를 뽑으면 그것은 성공을 의미하며 각 시행은 성공 혹은 실패로 분류가 됩니다 그래서 여기 이것은 사실이 아닙니다 시행의 횟수가 정해져 있지 않아서 X는 이항변수가 아니라고 되어 있습니다 시행 횟수는 정해져 있습니다 세 번의 시행을 하니까요 모자에서 세 명의 이름을 뽑습니다 시행들은 독립이 아니므로 X는 이항변수가 아니라고 되어 있습니다 이것은 흥미롭네요 예를 들어 첫 번째 시행에서 성공의 확률은 몇인가요? 종업원이 20명이니까 모자에는 20명의 이름이 있고 결과 중에 11개가 성공이겠네요 따라서 11/20의 성공 확률이 됩니다 하지만 두 번째 시행에서 성공 확률은 몇인가요? 성공을 했다면 즉 첫 번째 시행 T1이라고 하겠습니다 만약 첫 번째 시행에서 성공했다면 모자에는 19명의 이름 중에 10명의 여자 이름만 남아있다는 뜻이죠 만약 첫 번째 시행에서 성공하지 못하면 11/19이 되겠죠 결국 확률이 이전 결과에 종속되어 변하는 것입니다 따라서 시행들은 독립이 아니며 X는 이항변수가 아니라는 이 말은 참이 되겠습니다 시행들은 독립이 아니고 따라서 이항변수가 되기 위한 조건에 위배됩니다 이항 변수가 되기 위해서는 모든 시행들이 서로 독립이어야 합니다 그러면 마지막 것은 제외시킬 수 있겠네요 왜냐하면 마지막 선택지는 X는 이항분포를 이루거나 이항변수의 조건을 모두 만족한다고 하고 있기 때문입니다 또 다른 예시를 풀어 봅시다 여기 다른 시나리오들이 있습니다 그리고 여기 이항변수의 조건들이 쓰여 있네요 다시 한 번 영상을 멈추고 확률변수에 대한 이 시나리오들을 살펴보세요 그리고 이 조건들을 보시고 이 확률변수가 이항변수인지 아닌지 생각해 보세요 첫 번째 것을 봅시다 표준 카드 52장으로 하는 게임에서 한 사람이 임의로 카드 일곱 장을 복원 없이 받습니다 한 사람이 임의로 카드 일곱 장을 복원 없이 받습니다 Y를 에이스가 나온 수라고 합시다 이항변수 소개 영상에서는 복원 없는 경우 한 번의 시행에서 에이스를 받을 확률에 대해 이야기 했습니다 이 때 시행은 카드 한 벌에서 한 장의 카드를 뽑는 것이었죠 이것은 이전 시행에서 에이스를 뽑았느냐에 의존적이었습니다 왜냐하면 만약 이전 시행에서 에이스를 뽑았다면 왜냐하면 만약 이전 시행에서 에이스를 뽑았다면 카드 한 벌에 더 적은 수의 에이스가 남아있기 때문입니다 따라서 이 경우 시행들은 독립이 아닙니다 독립이 아닌 시행이라고 쓰겠습니다 독립이 아닌 시행이라고 쓰겠습니다 반면에 매 시행에서 어떤 카드를 뽑든 간에 그 카드를 복원 한다면 독립 시행이 됩니다 각 시행에서 에이스를 받을 확률은 모두 같습니다 하지만 복원 없이는 아니죠 따라서 여기 이것은 이항변수가 아닙니다 왜냐하면 독립 시행이 아니기 때문이죠 두 번째 시나리오를 보면 특정 종의 토마토 60%는 화분에서 밭으로 옮겨 심은 후에도 살아남습니다 일라이는 이 토마토 모종 16개를 옮겨 심었습니다 이 식물은 서로 독립적으로 산다고 가정합시다 따라서 하나의 식물의 생사는 다른 식물의 생사와 종속적이지 않습니다 T를 살아있는 토마토의 수라고 합시다 이제 조건을 봅시다 각 시행의 결과는 성공 혹은 실패로 분류될 수 있습니다 따라서 여기 각 시행은 토마토 중에 하나를 의미하고 시행은 총 16번이 됩니다 성공은 토마토가 사는 경우 실패는 죽는 경우입니다 따라서 성공 혹은 실패가 존재합니다 각 시행은 서로 독립이어야 합니다 식물들은 서로 독립적으로 산다고 되어있습니다 주변 식물들이 살든 죽든 그 옆의 식물이 죽느냐 사느냐에 영향을 끼치지 않습니다 따라서 각 시행은 서로 독립입니다 시행 횟수가 정해져 있어야 한다고 합니다 여기 16번이라고 되어 있습니다 각 시행의 성공 확률 p는 항상 일정해야 한다고 합니다 시나리오만 보아도 각 토마토는 각 시행에서 60%의 확률로 산다고 되어있습니다 따라서 이 시나리오는 여기 모든 조건을 만족합니다 그래서 이것은 이항변수입니다 세 번째 시나리오를 봅시다 행운의 게임에서 한 번의 차례는 육면체의 주사위 두 개를 굴려서 같은 눈이 나올 때까지 계속 주사위를 굴리는 것입니다 즉, 두 주사위에서 같은 수가 나와야 한다는 것이죠 X를 한 번의 차례에서 주사위를 굴린 횟수라고 합시다 그러면 같은 수가 나올 때까지 계속 굴려야 합니다 확실한 것은 시행 횟수가 정해져 있지 않다는 점이죠 정해져 있지 않은 시행 횟수라고 쓰겠습니다 각 굴림은 시행이라고 할 수 있죠 성공은 같은 수가 나왔을 때인데 이 확률은 정해져 있습니다 각 시행에서 같은 수가 나오든 안 나오든 이전에 굴린 것과는 상관이 없습니다 따라서 모든 조건을 만족하지만 시행 횟수가 정해져 있다는 조건은 만족하지 못합니다 여러분 혹은 누군가가 20번 혹은 200번을 굴려야 할 수도 있습니다 하지만 같은 수가 나올 때까지 얼마나 던져야 할지 누가 알겠어요? 따라서 이는 정해진 시행 횟수라는 조건을 위배합니다 그러므로 이 변수X는 이항변수가 아닙니다