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주요 내용
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동영상 대본

이번 영상에서는 이항변수라고 알려져 있는 확률분포의 특수한 종류에 대해 이야기 할 겁니다 그것에 대해 배우고 이해하는 과정에서 알게 되겠지만 그것 자체가 매우 흥미로울 뿐만 아니라 이항변수에 대해 이해한 것을 가지고 다룰 수 있는 매우 강력한 확률과 통계들이 많습니다 가능한 빨리 구체적으로 들어가기 위해 이항변수의 매우 실체적인 예로 시작하겠습니다 그런 뒤에 무 엇이 이항변수를 이루는지 더 구체적으로 들어가겠습니다 저에게 동전이 하나 있다고 합시다 여기 이것이 제 동전입니다 굳이 예쁘게 생긴 동전일 필요는 없겠죠 매우 빨리 그리겠습니다 이것이 제 동전입니다 동전을 던졌다고 했을 때 앞면이 나올 확률은 0.6 뒷면이 나올 확률은 1 - 0.6 = 0.4입니다 1 - 0.6 = 0.4입니다 그리고 제가 정의할 것은 확률변수 X인데 이것은 동전을 열 번 던진 뒤에 앞면이 나오는 횟수입니다 이것은 동전을 열 번 던진 뒤에 앞면이 나오는 횟수입니다 이것은 동전을 열 번 던진 뒤에 앞면이 나오는 횟수입니다 이것은 동전을 열 번 던진 뒤에 앞면이 나오는 횟수입니다 이것은 동전을 열 번 던진 뒤에 앞면이 나오는 횟수입니다 이것은 동전을 열 번 던진 뒤에 앞면이 나오는 횟수입니다 이것은 동전을 열 번 던진 뒤에 앞면이 나오는 횟수입니다 그러면 무엇이 이것을 이항변수로 만들까요? 자주 주어지는 이항변수의 첫 번째 조건들 중 하나는 유한한 독립시행 횟수로 이루어져 있다는 것입니다 써보죠 유한한 독립시행으로 이루어져 있습니다 유한한 독립시행으로 이루어져 있습니다 유한한 독립시행으로 이루어져 있습니다 유한한 독립시행으로 이루어져 있습니다 그러면 독립시행으로 이루어졌다는 것은 무엇을 의미할까요? 시행이라는 것은 동전을 한 번 던지는 것입니다 동전 한 번 던지기는 한 번의 시행과 같습니다 제가 방금 쓴 말에 따르면요 그러면 각 동전 던지기 혹은 각 시행이 독립이라는 말은 무엇을 의미할까요? 각 동전 던지기에서 앞면 혹은 뒷면이 나올 확률은 각 동전 던지기에서 앞면 혹은 뒷면이 나올 확률은 이전의 동전 던지기에서 앞면 혹은 뒷면이 나오는 것과는 독립적이라는 겁니다 따라서 이 경우는 독립시행으로 이루어져 있습니다 또 다른 조건은 각 시행은 성공 혹은 실패로 명확히 분류될 수 있다는 것입니다 다르게 생각해서 각 시행은 명확히 구분되는 두 개의 결과를 가집니다 각 시행은 제가 든 예시에서 동전 던지기는 시행이므로 성공 혹은 실패로 분류될 수 있습니다 성공 혹은 실패로 분류될 수 있습니다 성공 혹은 실패로 분류될 수 있습니다 성공 혹은 실패로 분류될 수 있습니다 성공 혹은 실패로 분류될 수 있습니다 성공 혹은 실패로 분류될 수 있습니다 따라서 이 확률변수 X에서는 앞면이 나온 횟수를 세고 있으므로 앞면 성공으로 정의할 수 있습니다 즉, 성공 혹은 실패는 각 시행에서 앞면과 뒷면이 나오는 경우입니다 이항변수가 되기 위한 또다른 조건은 시행 횟수가 고정되어 있어야 한다는 것입니다 시행 횟수가 고정되어 있어야 한다는 것입니다 시행 횟수가 고정되어 있어야 한다는 것입니다 시행 횟수가 고정되어 있어야 한다는 것입니다 시행 횟수가 고정되어 있어야 한다는 것입니다 이 경우에는 열 번의 시행 혹은 열 번의 동전 던지기가 됩니다 마지막 조건은 성공의 확률입니다 이 예시의 경우에는 성공은 앞면이 나오는 것이죠 성공의 확률이 각 시행에서 일정해야 합니다 이에 대해선 이미 이야기 했죠 각 시행 혹은 각 동전 던지기에서 머리가 나올 확률은 0.6을 유지합니다 어떠한 이유 때문에 시행 때마다 변한다면 아마도 동전을 바꾸는 경우 같은 것일텐데 동전마다 다른 확률을 가지므로 이 경우 더 이상 이항변수가 아니게 됩니다 이렇게 생각할 수도 있습니다 이해는 했는데 이게 왜 이항변수인지 이해했는데 그러면 이항변수가 아닌 예시는 무엇이냐고 말이죠 그러면 변수 Y를 정의하겠습니다 그리고 이것은 표준 카드 한 벌에서 두 장의 카드를 뽑은 뒤 킹이 나오는 장수와 같다고 합시다 두 장의 카드를 뽑은 뒤 킹이 나오는 장수와 같다고 합시다 두 장의 카드를 뽑은 뒤 킹이 나오는 장수와 같다고 합시다 두 장의 카드를 뽑은 뒤 킹이 나오는 장수와 같다고 합시다 두 장의 카드를 뽑은 뒤 킹이 나오는 장수와 같다고 합시다 두 장의 카드를 뽑은 뒤 킹이 나오는 장수와 같다고 합시다 복원하지 않고요 복원하지 않고요 그러면 아마 즉시 이렇게 이야기 하겠죠 그것은 이항변수일 거라고 느껴지네요 각 시행은 성공 혹은 실패로 분류됩니다 각 시행은 카드를 한 장 뽑는 것입니다 킹을 뽑으면 성공인 것 같네요 킹을 뽑지 못하면 실패일 겁니다 이것은 여기 이 조건을 만족합니다 그리고 고정된 시행 횟수를 가졌습니다 한 벌의 카드에서 두 장의 카드를 뽑으므로 이 조건도 만족하는 것 같습니다 하지만 이 조건들은 어떨까요? 독립시행으로 이루어져야 하고 각 시행에서 성공의 확률은 일정해야 한다는 조건들이요 조건들이요 킹을 뽑으면 첫 번째 시행에서 킹을 뽑을 확률은 첫 번째 시행에서 킹을 뽑을 확률은 첫 번째 시행에서 킹을 뽑을 확률은 첫 번째 시행에서 킹을 뽑을 확률은 한 벌에 52장의 카드가 있고 킹 카드가 네 장 있으므로 첫 번째 시행에서 킹을 뽑을 확률은 4/52가 됩니다 하지만 두 번째 시행에서 킹을 뽑을 확률은 어떻게 될까요? 확률은 어떻게 될까요? 첫 번째 시행에서 어떻게 되었느냐에 달려 있습니다 첫 번째 시행에서 킹을 뽑았으면 첫 번째 시행에서 킹을 뽑았으면 이런 상황이 되겠죠 첫 번째 시행에서 첫 번째 킹이 나왔으면 51장의 카드 중에 세 장의 킹이 남아있겠죠 하지만 첫 번째 시행에서 킹을 뽑지 않았다면 51장의 카드에 네 장의 킹이 있겠죠 카드를 복원하지 않기 때문에 무엇을 하든 간에 첫 번째 카드를 뽑게 되고 옆에 내려 놓겠죠 여기서 재밌는 것은 이것은 독립시행으로 이루어져 있지 않다는 것입니다 이 조건을 만족하지 않습니다 두 번째 시행에서의 확률은 첫 번째 시행에서 어떤 일이 있었는지에 종속적입니다 다르게 생각해 보면 뽑은 카드를 복원하지 않기 때문에 각 시행에서 성공의 확률은 일정하지 않습니다 이것이 바로 여기 이것이 이항변수가 아닌 이유입니다 만약 Y에서 카드를 복원하지 않는 조건을 없애고 카드를 뽑은 후에 바로 복원한다고 하면 상황이 달라집니다 그러면 사실상 이항변수가 됩니다 따라서 복원이 없는 조건 대신에 복원이 있다고 한다면 각 시행에서 킹이 나올 확률은 4/52가 됩니다 시행 횟수는 유한하고 성공 확률은 계속 일정합니다 그리고 각 시행은 독립입니다 그리고 명백히 각 시행은 성공 혹은 실패로 쉽게 분류됩니다