이항분포

확률변수 X를 동전을 던졌을 때 앞면 H가 나올 횟수로 정의합시다 동전을 던졌을 때 앞면 H가 나올 횟수로 정의합시다 동전을 던졌을 때 앞면 H가 나올 횟수로 정의합시다 앞뒤 확률이 같은 동전이죠 그렇다고 가정하고 5번 던진다고 합시다 다른 확률변수와 마찬가지로 이 확률변수 역시 특정 결과를 숫자로 표현한 것입니다 이 확률변수 X가 취할 수 있는 값은 0, 1, 2, 3, 4, 5입니다 이제 이 확률변수의 값이 0이 될 확률 1이 될 확률 2가 될 확률, 3이 될 확률, 4가 될 확률 5가 될 확률을 계산할 것입니다 이를 위해 먼저 동전을 다섯 번 던졌을 때 나타날 수 있는 모든 경우의 수를 생각해 봅시다 나타날 수 있는 모든 경우의 수를 생각해 봅시다 가능한 결과를 적어봅시다 5번의 동전 던지기에서 가능한 경우들입니다 5번의 동전 던지기에서 가능한 경우들입니다 5번의 동전 던지기에서 가능한 경우들입니다 이 숫자들은 확률변수의 가능한 경우가 아니라 그야말로 동전을 다섯 번 던졌을 때 나타날 수 있는 경우일 뿐입니다 예를 들어 가능한 경우 중 하나는 뒷면, 앞면, 뒷면, 앞면, 뒷면일 것입니다 또 다른 경우로는 앞면, 앞면, 앞면, 뒷면, 뒷면이 있습니다 이것은 일어날 확률이 같은 경우 중 하나이며 이것도 일어날 확률이 같은 경우 중 하나입니다 이러한 경우들이 몇 개나 될까요? 동전을 던질 때마다 같은 확률의 경우 두 가지가 있습니다 여기에 적어 보겠습니다 여기에 적어 보겠습니다 첫 번째 던지기에 두 가지 경우가 있고 여기에 두 번째 던지기의 2를 곱하고 다시 세 번째 던지기의 2를 곱합니다 혹시 모를 혼란을 피하기 위해 곱하기 기호는 사용하지 않겠습니다 첫 번째 던지기의 경우 두 가지 두 번째 던지기의 경우 두 가지 세 번째 던지기의 경우 두 가지 네 번째 던지기의 경우 두 가지 다섯 번째 던지기의 경우 두 가지를 모두 곱하면 동전을 다섯 번 던져서 나오는 같은 확률의 경우는 2^5가지입니다 동전을 다섯 번 던져서 나오는 같은 확률의 경우는 2^5가지입니다 물론 32이죠 이 결과는 앞으로 유용할 것입니다 왜냐하면 이 확률변수가 취할 수 있는 각각의 값에 대해 여기 같은 확률의 경우 중 몇 가지가 여기 같은 확률의 경우 중 몇 가지가 확률변수를 특정 값으로 만드는지만 보면 되니까요 이 점에 대해 좀 더 생각해 봅시다 이 점에 대해 좀 더 생각해 봅시다 파란 색으로 시작하겠습니다 파란 색으로 시작하겠습니다 확률변수 X의 값이 1이 될 확률을 생각해 봅시다 확률변수 X의 값이 1이 될 확률을 생각해 봅시다 아니 0부터 시작해 봅시다 확률변수 X가 0이 될 확률은 5번 동전을 던져 앞면이 1번도 나오지 않은 경우입니다 앞면이 나오지 않는 것은 같은 확률의 경우의 수 32가지 중 한 가지입니다 앞면이 나오지 않는 것은 같은 확률의 경우의 수 32가지 중 한 가지입니다 바로 다섯 개의 뒷면이 나오는 경우이죠 따라서 이것은 같은 확률의 경우의 수 32개 중 한 가지입니다 따라서 이것은 같은 확률의 경우의 수 32개 중 한 가지입니다 따라서 이것은 같은 확률의 경우의 수 32개 중 한 가지입니다 이 경우에는 이항계수와 조합 등을 통해 생각하기 보다 그냥 생각해 보는 것이 훨씬 쉽지만 확률변수의 값이 커질수록 이항계수와 조합등을 생각하는 것이 더 효율적일 수 있습니다 이 과정을 보면 이항분포라는 이름이 어디서 오는지 알 수 있을 것입니다 이 과정을 보면 이항분포라는 이름이 어디서 오는지 알 수 있을 것입니다 그렇게 적어 봅시다 여기 1을 여기 1을 조합의 개념으로 생각해 보면 5번의 던지기 중에서 0개의 앞면을 선택한 것이라 할 수 있습니다 5번의 던지기 중에서 0개의 앞면을 선택한 것이라 할 수 있습니다 5개에서 0개를 취하는 조합이 1이라는 것을 확인해 봅시다 5개에서 0개를 취하는 조합이 1이라는 것을 확인해 봅시다 5개에서 0개를 취하는 조합은 5!/(5-0)! 5개에서 0개를 취하는 조합은 5!/(5-0)! 정확히 말하면 5!/0!·(5 - 0)!입니다 정확히 말하면 5!/0!·(5 - 0)!입니다 0!은 정의에 의해 1이기 때문에 결국 이것은 5!/5!이 되어 1이 됩니다 무작정 공식을 적용하기 보다는 이 과정을 상식적으로 추론해 보고 있습니다 강조하고 싶은 점은 이 두 가지 방식이 다르지 않다는 것입니다 계속해 봅시다 X=1에서부터 죽 올라가서 X=5까지 적어 봅시다 하고 싶으면 모든 빈 칸을 채워 X가 1, 2, 3, 4, 5가 될 확률이 얼마일지 생각해 보세요 X가 1, 2, 3, 4, 5가 될 확률이 얼마일지 생각해 보세요 X가 2가 될 확률을 봅시다 미안합니다 X가 1이 될 확률입니다 X가 1이 될 확률 어떻게 하면 앞면이 1개만 나올 수 있을까요? 첫 번째가 앞면이고 나머지가 모두 뒷면인 경우도 있고 두 번째가 앞면이고 나머지 모두가 뒷면인 경우도 있습니다 모든 경우의 수를 다 적을 수도 있겠지만 한 개의 앞면이 나타날 수 있는 위치는 다섯 개가 있음을 알 수 있습니다 따라서 같은 확률의 경우의 수 32가지 중 5가지의 경우가 1개의 앞면을 포함하게 됩니다 적어 보겠습니다 이것은 같은 확률의 경우의 수 32가지 중 5가지입니다 이것은 같은 확률의 경우의 수 32가지 중 5가지입니다 다시 말하면 다섯 번의 던지기 중에서 하나의 앞면만 선택한 것과 같습니다 따라서 5/32가 됩니다 실제로 5!/1!·(5 - 1)!을 계산해 보면 실제로 5!/1!·(5 - 1)!을 계산해 보면 바로 해보죠 바로 해보죠 5개 중에서 1개를 취한 조합은 5!을 1!은 1과 같고, 여기에 (5-1)!을 곱한 값으로 나눈 것과 같습니다 이는 5!/4!과 같으며 그 값은 5가 됩니다 잘 되고 있습니다 이제 보라색으로 확률변수 X가 2일 확률을 생각해 봅시다 이것은 무엇과 같냐면 이제 조합을 사용해야 하겠네요 5번의 던지기 중에서 2개의 앞면을 선택하고 같은 확률의 경우의 수 32가지로 나누어 줍니다 이것이 앞면이 2개인 경우의 수입니다 이것이 앞면이 2개인 경우의 수입니다 5개의 던지기 중에서 2개의 앞면이 나타나는 경우이죠 이런 저런 방법으로 생각해 볼 수 있을 것입니다 이런 저런 방법으로 생각해 볼 수 있을 것입니다 이건 같은 확률의 경우의 수 32가지 안에 있는 경우이죠 따라서 이것이 X가 2일 확률입니다 얼마가 되는지 여기에 계산해 보겠습니다 굳이 색깔을 계속 바꿔야할 이유는 없겠지요 굳이 색깔을 계속 바꿔야할 이유는 없겠지요 5개 중에서 2개를 취한 조합은 5!/2!·(5 - 2)!입니다 5!/2!·(5 - 2)!입니다 5!/2!·(5 - 2)!입니다 그것은 5!/2!·3!과 같고 그것은 5!/2!·3!과 같고 이것은 1은 곱하나 마나이기 때문에 5 x 4 x 3 x 2와 같고 1은 곱하나 마나이기 때문에 5 x 4 x 3 x 2와 같고 1은 곱하나 마나이기 때문에 5 x 4 x 3 x 2와 같고 그리고 2!은 2 3!은 3 x 2가 되는데 마찬가지로 1은 곱하던 말던 똑같기 때문에 쓰지 않겠습니다 마찬가지로 1은 곱하던 말던 똑같기 때문에 쓰지 않겠습니다 이것은 약분되고 4를 2로 나누면 2이고 5 x 2는 10입니다 따라서 이는 10과 같고 답은 10/32입니다 답은 10/32입니다 물론 이 분수를 약분할 수도 있겠지만 그냥 이대로 놔두겠습니다 모든 것을 32를 기준으로 생각하고 있기 때문입니다 X가 0이 될 확률은 1/32이고 1이 될 확률은 5/32 2가 될 확률은 10/32입니다 계속해 봅시다 오렌지색으로 표시하겠습니다 확률변수 X가 3일 확률은 얼마일까요? 확률변수 X가 3일 확률은 얼마일까요? 이것은 5번의 던지기 중에서 3개의 앞면을 선택하는 것이며 3개의 앞면을 선택하는 것이며 3개의 앞면만을 포함하는 경우를 알아내면 됩니다 분모는 같은 확률의 경우의 수 32가 되고 분자는 5개 중에서 3개를 취하는 조합으로 이는 5!/3!·(5- 3)!이고 이는 5!/3!·(5- 3)!이고 이는 5!/3!·(5- 3)!이고 이는 5!/3!·(5- 3)!이고 5!/3!2!과 같습니다 5!/3!2!과 같습니다 이 값은 여기 이것과 정확히 같습니다 다만 3과 2가 바뀌었을 뿐이므로 이것 또한 10이 됩니다 10/32입니다 이제 두 개 남았습니다 여기서 이제 조금씩 어떤 대칭성을 볼 수 있을 겁니다 여기서 이제 조금씩 어떤 대칭성을 볼 수 있을 겁니다 1 5 10 10이 있죠 계속해 봅시다 아직 하안색을 사용하지 않았으니 하안색을 쓰도록 하겠습니다 확률변수 X가 4일 확률은 5번의 던지기 중에서 4개의 앞면을 선택하는 것과 같은데 5개 중 4개를 고르는 것입니다 물론 의도적으로 선택하는 것은 아니지만 5번의 던지기 중에서 4개의 앞면이 선택된 확률이라고 생각할 수 있습니다 5번의 던지기 중에서 4개의 앞면이 선택된 확률이라고 생각할 수 있습니다 5번의 던지기 중에서 4개의 앞면이 선택된 확률이라고 생각할 수 있습니다 5번의 던지기 중에서 4개의 앞면이 선택된 확률이라고 생각할 수 있습니다 분모는 같은 확률의 경우의 수 32개입니다 5개 중 4개를 취하는 조합은 5!/4!·(5 - 4)!과 같고 5!/4!·(5 - 4)!과 같고 이것은 5! 여기 이것은 1!입니다 이것은 영향이 없습니다 1!에 4!을 곱하면 결국 5!/4!이 되어서 5가 됩니다 따라서 다시 한번 5/32가 나옵니다 생각해보면 맞는 말입니다 4개의 앞면이 나온다는 것은 1개의 뒷면이 나온다는 것과 같으며 1개의 뒷면이 나타날 수 있는 위치는 5개가 있습니다 뒷면이 1개일 경우는 5가지인 것이죠 같은 확률의 경우의 수 32개 중 5가지인 것입니다 그러면 이제 X가 5인 경우를 예측할 수 있을 겁니다 그러면 이제 X가 5인 경우를 예측할 수 있을 겁니다 5개의 앞면이 나타난다는 것은 뒷면이 0이라는 것이며 뒷면이 0개이고 모두가 앞면인 경우는 32개의 경우의 수에서 오직 1개의 경우입니다 그걸 한 번 적어 보겠습니다 확률변수가 5일 확률은 확률변수가 5일 확률은 5개의 앞면이 나타날 경우입니다 5개 중에서 앞면 5개를 고른다고 할 수 있습니다 5개 중에서 앞면 5개를 고른다고 할 수 있습니다 같은 확률의 경우의 수 32가지 중 5개를 선택하는 것은 다음과 같습니다 이곳에다 적겠습니다 이곳에다 적겠습니다 5개 중 5개를 취하는 조합은 5!/5!·(5 - 5)!입니다 여기 이것은 0!인데 1이 되고 따라서 이것 전부가 1로 약분됩니다 1/32가 됩니다 대칭성이 보이네요 1/32, 1/32 5/32, 5/32 10/32, 10/32이죠 일리가 있습니다 5개의 앞면이 나타날 확률은 0개의 뒷면이 나타날 확률과 같으며 0개의 뒷면이 나타날 확률은 0개의 앞면이 나타날 확률과 같아야 합니다 이번 동영상은 여기까지 입니다 다음 동영상에서는 이 결과를 그래프로 표현하고 이 확률변수의 확률분포를 그려보도록 하겠습니다