이항변수의 기댓값

이항변수 X가 있고 이걸 매우 일반적인 말로 설명해 보겠습니다 이것은 각 시행에서 성공할 확률이 p인 n번의 시행에서 성공의 횟수를 말합니다 성공의 횟수를 말합니다 성공의 횟수를 말합니다 이렇게 설명하는 것은 어느 확률이나 이항변수에 대해서도 설명 가능한 방법이고 각 시행은 독립이라고 가정하고 있습니다 즉, 확률은 일정합니다 여기 유한한 시행 횟수가 있고 각 시행은 명백히 성공 혹은 실패입니다 이 영상에서 다룰 것은 이 이항변수의 기댓값입니다 이 이항변수의 기댓값입니다 X의 기댓값이 무엇과 같을까요? X의 기댓값이 무엇과 같을까요? X의 기댓값이 무엇과 같을까요? 바로 본론으로 들어가서 답을 말씀 드리겠습니다 그리고 영상 뒤에서 조금 더 수학적으로 증명하도록 하겠습니다 X의 기댓값은 시행 횟수 x 각 시행에서 성공할 확률입니다 시행 횟수 x 각 시행에서 성공할 확률입니다 만약 조금 더 구체적으로 알고 싶다면 시행을 자유투라고 상상해 보세요 자유투 라인에서 슛을 쏘고 성공은 공이 들어간 경우입니다 공이 들어간 경우입니다 노란색을 써볼게요 확률은 자유투 성공률이죠 30% 혹은 0.3이라고 합시다 그리고 이 경우 10개의 자유투를 던졌다고 합시다 그러면 n = 10입니다 이제 많이 구체적인 상황이 됐습니다 이러한 상황에서 기댓값은 X가 30%의 자유투 성공률로 10개의 자유투를 던진 뒤 성공한 횟수라면 성공한 횟수라면 제가 아까 말한 것에 근거해서 n x p가 됩니다 결국 시행 횟수 x 시행에서 성공 확률인 0.3입니다 결국 시행 횟수 x 시행에서 성공 확률인 0.3입니다 결과적으로 3이 되겠습니다 이게 직관적으로 이해가 가나요? 10개 슛을 30%의 성공률로 던진다면 일반적으로 3개의 슛을 성공시킬 거라고 생각할 겁니다 그럼 이제 이걸 떠나서 이에 대해 수학적으로 편하게 느껴지도록 합시다 그리고 기댓값의 성질을 이용할 것입니다 특히 다른 동영상에서 이야기 했듯이 두 확률변수의 합 즉, X + Y의 기댓값을 알고 있다면 이것은 X의 기댓값 +Y의 기댓값과 같다는 사실을 이용할 겁니다 이것은 X의 기댓값 +Y의 기댓값과 같다는 사실을 이용할 겁니다 이것은 X의 기댓값 +Y의 기댓값과 같다는 사실을 이용할 겁니다 이것을 가정하면서 새로운 확률변수를 만듭시다 확률변수 Y라고 합시다 Y에 대한 설명은 알고 있죠? Y가 1일 때의 확률은 p입니다 Y가 0일 때의 확률은 1 - p 입니다 그리고 이것들이 이 확률변수의 유일한 두 개의 결과입니다 그러면 아마도 이것이 어떻게 될지 알 것입니다 이 확률변수를 잘 보면 하나의 시행만을 나타내고 있고 성공일 때는 1이고 실패일 때는 0입니다 본래의 확률변수 X를 보면 여기에 써보면 Y + Y 그리고 이렇게 10번 더해집니다 10개의 Y가 있겠죠 구체적으로는 자유투를 성공하면 확률변수 Y를 1로 봐야하고 자유투를 실패하면 Y를 0으로 봐야합니다 이것은 이 시행들 중 하나를 나타내고 X를 이 시행들 중에 n의 합이라고 봐야합니다 여기를 명확히 하도록 합시다 조금 더 명확히 들어가면 사실은 nY가 됩니다 왜냐하면 이쪽의 부분과 똑같이 일반적으로 표현하고 싶거든요 따라서 여기는 n개의 Y입니다 따라서 여기는 n개의 Y입니다 이것은 그냥 특정한 예제였고 영상의 나머지에서는 일반적인 걸 계속 하도록 하겠습니다 왜냐하면 이제 진짜 여기 이 결과를 증명할 것이기 때문입니다 그러면 양변에 기댓값을 취해봅시다 뭐가 되죠? X의 기댓값은 X의 기댓값은 사실 여긴 전체의 기댓값이지만 여기의 이 성질을 이용하면 Y의 기댓값을 n번 더하면 됩니다 Y의 기댓값을 n번 더하면 됩니다 Y의 기댓값을 n번 더하면 됩니다 Y의 기댓값을 n번 더하면 됩니다 이것이 n개 있는 것이죠 따라서 이것을 다시 써보면 따라서 이것을 다시 써보면 이것은 n x Y의 기댓값입니다 이것은 n x Y의 기댓값입니다 그러면 Y의 기댓값은 무엇인가요? 이것은 꽤 간단하겠네요 직접 해보면 됩니다 Y의 기댓값 여기에 적어볼게요 Y의 기댓값은 확률이 가중된 결과입니다 그리고 여기서는 단 두 개의 명백한 결과만 있기 때문에 계산하기가 쉽죠 1을 얻는 경우의 확률 p가 있으니 p x 1이고 0을 얻을 확률인 1-p를 더해 줍니다 0을 얻을 확률인 1-p를 더해 줍니다 간단히 하면 얼마죠? 0 곱하기 무엇을 하든 0이 되고 1 x p만 남았는데 이건 그냥 p가 되죠 따라서 Y의 기댓값은 p가 됩니다 다 나왔네요 X의 기댓값이 있고 기댓값의 10배이거나 일반적으로는 Y의 기댓값의 n배가 되겠죠 그리고 Y의 기댓값은 p이고 따라서 X의 기댓값은 np입니다 잘 이해했길 바랍니다