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실험적 확률에서의 임의의 숫자

동영상 대본

파스칼 리켓츠는 3 Rolls to Ten 이라는 게임을 만들었습니다 파스칼 리켓츠는 3 Rolls to Ten 이라는 게임을 만들었습니다 확률이 같은 육면체 주사위를 세 번 굴려 눈의 합이 10보다 크면 이기고 10보다 작으면 집니다 3 Rolls to Ten에서 이길 확률은 얼마일까요? 이 문제에 접근하는 방법에는 여러 가지가 있습니다 이 동영상에서 사용할 방법은 실험적 확률을 이용한 방법입니다 실험적 확률을 이용한 방법입니다 3 Rolls to 10 게임에 대해 여러 번의 실험을 진행하여 실제로 게임에서 이기는 비율을 구할 것 입니다 실제로 게임에서 이기는 비율을 구할 것 입니다 그리고 더 많은 실험을 할수록 실제 승리 확률에 가까운 값을 얻어낼 수 있을 것입니다 자, 시작해 보겠습니다 편한 실험을 위해, 컴퓨터에서 0부터 9까지 임의의 숫자들의 문자열을 만들어 두겠습니다 0부터 9까지 임의의 숫자들의 문자열을 만들어 두겠습니다 이 숫자들을 실험에 사용할텐데 육면체 주사위를 굴리므로 나오는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이 될 것입니다 나오는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6이 될 것입니다 하지만 컴퓨터가 만들어낸 이 임의의 숫자들에선 1에서 6까지의 숫자 이외에도 7,8,9,0이 나옵니다 그러므로 각각의 실험에서는 왼쪽 위의 숫자부터 시작해서 각 숫자를 주사위를 던져 나온 결과로 생각하는데 육면체 주사위의 눈이 아닐 경우 예를 들어, 만약 0,8,7,9일 경우 그것들은 무시하겠습니다 그것들은 가능한 값이 아니라고 하겠습니다 주사위를 던졌는데 테이블에서 떨어진 것과 비슷한 경우라고 생각하면 됩니다 자, 그럼 해 봅시다 주사위를 세 번 굴리는 실험을 여러 번 진행한 뒤 이를 더해 얼마나 많이 실험을 해야 파스칼이 만든 게임의 승리 확률을 실험적으로 알아낼 수 있는지 봅시다 자, 여기 작은 표를 준비하고 여기 합을 보여주는 공간을 마련합시다 여기에 몇 번째 실험인지를 적고 여기에는 눈의 합을 적습니다 그리고 여기에는 게임에서 이겼는지 결과를 적습니다 좋습니다 그럼 첫 번째 실험을 시작합시다 첫 눈은 1이 나왔고 두 번째 눈은 5가 나왔습니다 잘 되고 있네요 그리고 세 번째 눈은 6이 나왔습니다 게임에서 이겼나요? 1 + 5 + 6은 12 입니다 이겼습니다 다른 실험을 해봅시다 이걸 실험 2라고 합시다 똑같이 진행합니다 이것들은 임의의 숫자들입니다 첫 번째 눈은 6이 될 것이고 두 번째 눈은 2가 세 번째 눈은 4가 될 것입니다 게임에서 이겼나요? 다시 한 번, 합이 12가 나옵니다 게임에서 이겼습니다 좋습니다. 다른 실험을 또 해 봅시다 이를 실험3이라 합시다 첫 번째 것은 잘못된 숫자이고 이게 첫 번째 눈이 됩니다 6이 되겠네요 그리고 이것도 잘못된 숫자입니다 두 번째 눈은 3이 됩니다 이것도 유효하지 않고 저것도 유효하지 않습니다 이것도 유효하지 않고 세 번째 눈은 2가 됩니다 다 됐습니다 다 더하면 11입니다 네, 또 이긴 것 같습니다 좋습니다, 네 번째 실험을 해 봅시다 첫 번째 눈은 1이 나오고 이것은 유효하지 않습니다 두 번째 눈은 2를 얻습니다 이것은 유효하지 않습니다 세 번째 눈은 5를 얻습니다 이겼나요? 1 + 2 + 5는 8입니다 게임에서 졌습니다 이게 첫 번째 패배네요 자, 계속해 봅시다 흥미롭네요 좋습니다, 이건 유효하지 않고 이건 실험5가 되겠네요 세 눈의 합은 4 + 3 + 1이 됩니다 세 눈의 합은 4 + 3 + 1이 됩니다 다 더하면 8입니다 이겼나요? 아닙니다 계속해 봅시다 이 실험 결과를 적는 표를 더 늘리겠습니다 이 실험 결과를 적는 표를 더 늘리겠습니다 5번의 실험을 더 할 것입니다 합과 승패결과를 씁니다 표를 만듭시다 아까 만들었던 표를 연장한 것입니다 이 페이지 아래로는 가기 싫습니다 임의의 숫자들을 볼 수 있어야 하기 때문입니다 자, 실험 6으로 넘어갑시다 실험 6에선 첫 번째 눈에 3이 두 번째 눈도 3이 이건 좋아보이지 않는군요 그리고 세 번째 눈은 2가 나왔습니다 이겼나요? 아닙니다. 10보다 작습니다 실험 7로 갑시다 실험 7로 갑시다 첫 번째 눈은 2를 얻습니다 이건 유효하지 않습니다 두 번째 눈에선 3을 얻었으니 3을 더하고 세번째 눈에서는 1을 얻었으니 1을 더합니다 다시 한 번, 이기지 못했습니다 이제 실험 8을 해보도록 합시다 이제 실험 8을 해보도록 합시다 첫 번째 눈은 1이 나오고 두 번째 눈은 3이 나옵니다 이건 유효하지 않습니다 주사위가 탁자에서 떨어졌다고 생각하도록 하죠 그리고 세 번째 눈은 5가 나오므로 5를 더합니다 이겼나요? 아닙니다. 합은 9가 됩니다 처음 할 때는 쉽게 게임에서 이겼지만 지금은 모두 지고 있습니다 좋습니다 이제 실험 9로 갑시다 첫 번째 눈에 6이 두 번째 눈에 4가 이것들은 유효하지 않고 세 번째 눈은 5가 됩니다 이 게임은 이겼나요? 그렇습니다 이건 완벽히 10보다 큽니다 15입니다 자, 마지막 실험 적어도 이 동영상에선 마지막입니다 혼자 더 해봐도 됩니다 사실 그렇게 해 보아서 이론적 승리 확률에 대한 더 정확한 근사값을 더 많은 실험을 통해 알아내어 보세요 더 정확한 근사값을 더 많은 실험을 통해 알아내어 보세요 이는 곧 실험적 확률을 구하는 것입니다 자, 이제 실험 10입니다 첫 번째 눈은 5가 나오고 두 번째 눈은 2가 이건 유효하지 않고, 이것도, 이것도 그리고 6을 얻습니다 이건 완벽하게 이겼네요 그러므로, 10번의 시도 혹은 10번의 실험 끝에 이 게임을 이길 실험적 확률은 얼마일까요? 자, 10개의 실험들 중 몇 번이나 이겼나요? 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯 다섯 번 이겼네요 단순히 이 10개의 실험들 안에서는 딱 50%의 확률을 얻습니다 이론적 확률 또한 정말로 50%일까요? 이론적 확률 또한 정말로 50%일까요? 이 실험을 계속 해 볼 수 있겠죠 이 실험을 계속 해 볼 수 있겠죠 컴퓨터 프로그램을 통해 이 실험을 10회가 아닌 10000번을 돌릴 수도 있을 것입니다 정말 실험적 확률이 실제 이론적 확률에 가까워지는지 확인하기 위해서 말입니다