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임의의 숫자가 적힌 목록을 통한 실험

동영상 대본

아만다 영이 상품을 얻고 싶어 합니다 아만다 영이 상품을 얻고 싶어 합니다 한 시리얼 회사가 시리얼 한 박스 당 상품 한 개씩을 주고 있는데 6종류의 상품을 모두 모으라고 광고합니다 시리얼 한 박스에는 상품이 한 개 들어 있고 어떤 박스에 특정 상품이 들어있을 확률은 모두 동일합니다 아만다는 상품 6종류를 모두 모으려면 평균적으로 몇 박스가 필요한지 궁금해 합니다 이 문제를 접근하는 방법에는 여러 가지가 있습니다 상품 6종을 모두 모으려면 평균적으로 몇 박스를 모아야 하는지에 .대한 기댓값을 몇 박스를 모아야 하는지에 대한 기댓값을 알아내는 수학적 방법을 고안할 수도 있습니다 혹은 임의의 횟수로 박스를 모으는 시뮬레이션을 해서 반복 실험을 통해 상품 6종을 모두 모으는데 몇 박스나 필요한지 알아낼 수도 있습니다 예를 들어 각각의 상자에는 6종류 중 1가지의 상품이 들어있을 테니 그러므로 각각의 상품에 번호를 매깁니다 1, 2, 3, 4, 5, 6 그러고 나서 컴퓨터로 임의의 수열을 생성합니다 예를 들어 이런 것이 있을 수 있겠습니다 그리고 일반적인 방법으로는 여기 왼쪽에서 시작해서 새로운 숫자를 얻을 때마다 이것은 마치 시리얼 박스를 여는 것이라 가정하면 이 숫자는 무슨 상품을 받았는지 알려줍니다 이렇게 첫 실험을 시작합니다 여기 왼쪽에서 시작해서 이 실험에서 이 시뮬레이션에서 첫 시리얼 박스에서 1번 상품을 얻었습니다 그리고 계속합니다 다음번에서는 5번 상품을 얻었습니다 세 번째에서는 6번 상품을 얻었습니다 네 번째에서는 또 6번 상품을 얻고 6종류를 모두 얻을 때까지 이런 식으로 계속합니다 그런데 1에서 6 사이가 아닌 숫자들이 있습니다 그런데 1에서 6 사이가 아닌 숫자들이 있습니다 0도 있고 7도 있고 8이나 9도 있습니다 그 숫자들은 그냥 무시하면 됩니다 마치 없는 것처럼 행동하고 그냥 지나치면 됩니다 이 동영상을 일시정지 해놓고 첫 실험을 해보기 바랍니다 첫 실험에서 이 숫자들을 사용하고 이것이 시뮬레이션에서 얻는 첫 번째 박스라고 가정한다면, 6종류의 상품을 모두 모으기 위해선 박스가 몇 개나 필요할까요? 여기에 표를 만들겠습니다 이것이 실험이고 두 번째 열에 박스의 수라고 적겠습니다 그 시뮬레이션에서 열어야 하는 박스의 수입니다 첫 번째 실험을 파란색으로 표시하겠습니다 첫 번째 시뮬레이션입니다 첫 박스에서 1번이 나왔습니다 체크하면서 하겠습니다 그러니까 1, 2, 3, 4, 5, 6이 필요합니다 그러니까 1, 2, 3, 4, 5, 6이 필요합니다 봅시다 1을 얻었습니다 체크하겠습니다 5가 나왔습니다 체크하겠습니다 6이 나왔습니다 체크하겠습니다 다음 박스에서 또 6이 나왔습니다 이 상품은 이미 있지만 계속해서 박스를 열겠습니다 다음 박스에서 2가 나옵니다 그다음 박스에서는 4가 나옵니다 그다음 박스에서는 숫자가 7이므로 이것은 그냥 무시하겠습니다 다음 박스에서는 6이 나오는데 이 상품은 이미 있습니다 그다음 박스는 0이라서 무시합니다 여기서는 상품이 나오지 않습니다 이것은 없었던 일로 하고 다음 것은 3입니다 마지막으로 필요했던 상품입니다 그럼 상자가 몇 개나 필요했을까요? 유효한 것들만 세겠습니다 유효한 상품, 즉 1 이상 6 이하의 숫자가 있는 것들만 세겠습니다 봅시다 첫 실험에서 1개, 2개, 3개 4개, 5개, 6개, 7개 8개의 박스를 사용했습니다 그러니 1번 실험에서 6종류의 상품을 모두 모으는데 상자 8개가 필요했습니다 실험을 또 해봅시다 이것만으로는 평균적으로 8개가 기댓값이라고 할 수 없기 때문입니다 이것은 그냥 첫 실험에서 상자 8개가 필요했다는 것입니다 이것은 그냥 첫 실험에서 상자 8개가 필요했다는 것입니다 평균을 알아내고 싶다면 실험을 여러 번 해야 합니다 실험을 많이 할수록 그 평균이 6종류의 상품을 모두 모으기 위한 박스의 개수를 제대로 예측할 가능성이 커집니다 이제 두 번째 실험을 합시다 이 숫자들은 반드시 진정하게 임의여야 합니다 이제 첫 번째 유효한 숫자에서 시작하겠습니다 2가 나왔습니다 이것은 두 번째 실험이고 2가 나왔습니다 1이 나왔습니다 8은 무시합니다 다시 2가 나왔는데 이 상품은 이미 있습니다 다시 2가 나왔는데 이 상품은 이미 있습니다 9는 무시합니다 5는 이 실험에서 필요한 상품입니다 9는 무시합니다 4, 이 상품은 이 실험에서 아직 나오지 않았습니다 3, 이 실험에서 아직 나오지 않은 상품입니다 1, 이 상품은 이미 있고 3, 이 상품은 이미 있고 3, 이미 있고 2, 2, 이미 있습니다 0이 나왔고 이 상품들은 이미 다 있습니다 0은 무시합니다 이것은 이미 있고 드디어 6번 상품을 얻습니다 그럼 두 번째 실험에서 박스가 몇 개 필요했을까요? 봅시다 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10, 11, 12, 13 14, 15, 16, 17개 그러니까 실험 2에서는 박스 17개가 필요했습니다 이렇게 계속할 수 있습니다 한 번 더 합시다 꽤 재밌지 않나요? 실험 3입니다 참고로 유효한 숫자만 고려합니다 유효하지 않은 숫자들은 무시합니다 유효한 상품 숫자를 주지 않는 것들 말입니다 4, 상품을 얻습니다 이것들은 모두 유효하지 않습니다 5로 갑니다 이 상품을 얻습니다 5, 이미 있습니다 2번 상품을 얻습니다 7과 8은 유효하지 않습니다 7은 유효하지 않습니다 6, 상품을 얻습니다 7은 유효하지 않습니다 1, 이미 있는 상품입니다 1, 이미 있습니다 9는 유효하지 않습니다 2, 이미 있습니다 9는 유효하지 않습니다 1, 이미 1번 상품은 있습니다 마지막으로, 빠졌던 3번 상품을 얻습니다 마지막으로, 빠졌던 3번 상품을 얻습니다 그러면 몇 개의 유효한 상자가 필요했을까요? 봅시다 1, 2, 3, 4, 5, 6 7, 8, 9, 10 그러면 세 실험에서의 평균은 무엇일까요? 이 세 실험에서는 평균이 (8+17+10)/3입니다 그러니까 35/3은 11 2/3입니다 이것이 필요한 상자의 개수에 대한 실제 이론적 기댓값임을 이것이 필요한 상자의 개수에 대한 실제 이론적 기댓값임을 알 수 있을까요? 아니요, 그것은 알 수 없습니다 하지만 실험을 거듭할수록 평균값이 실제 이론적 평균값에 근접할 확률이 높아집니다