실험적 vs 이론적 확률 시뮬레이션

이 동영상에서는 어떻게 실험적 확률이 실험을 거듭해서 반복할수록 이론적 확률에 근접하는지 볼 것입니다 이론적 확률에 근접하는지 볼 것입니다 이는 보통 큰 수의 법칙이라고 불립니다 실험을 몇 번 하지 않는다면 실험적 확률이 이론적 확률과 다를 가능성이 큽니다 매우 다를 수도 있습니다 하지만 실험을 더 수행함에 따라, 수 천 번 수백만 번, 수 십억 번의 실험을 함에 따라 실험적 확률과 이론적 확률이 차이가 많이 날 확률이 매우 줄어듭니다 이에 대한 직관적인 이해를 가져 봅시다 여기에 있는 것은 macmillanusa가 만든 시뮬레이션입니다 여기에 있는 것은 macmillanusa가 만든 시뮬레이션입니다 주석에 링크를 제공하겠습니다 이것은 동전 던지기 시뮬레이션을 해서 동전 앞면이 나오는 비율을 계산해 줍니다 동전 앞면이 나오는 비율을 계산해 줍니다 여기서는 동전 앞뒷면의 확률을 서로 같게 만들 것인지 설정합니다 여기서는 동전 앞뒷면의 확률을 서로 같게 만들 것인지 설정합니다 지금은 앞면이 나올 확률이 50%입니다 지금은 앞면이 나올 확률이 50%입니다 이것을 바꾸어서 앞뒤의 확률을 다르게 만들 수도 있지만 50% 확률로 가겠습니다 여기 그래프에 결과가 나타나게 만들 수도 있습니다 여기서는 한 번에 동전을 몇 번이나 던지고 싶은지를 설정할 수 있습니다 일단 10회로 시작합시다 동전 던지기를 10회 시뮬레이션하는데 앞면이 나올 확률은 던질 때마다 50%입니다 그리고 던지는 과정에서 앞면이 나오는 비율이 얼마인지 볼 것입니다 같이 해봅시다 던지기 시작합니다 10회 던지면서 무슨 일이 일어났을까요? 처음 던졌을 때는 앞면이 나왔습니다 그러니까 한 번 던진 이후의 실험적 확률은 그러니까 한 번 던진 이후의 실험적 확률은 그 1회의 실험 만으로는 앞면이 1회 나왔으니 앞면이 나올 확률이 100%입니다 하지만 두 번째로 던졌을 때는 뒷면이 나왔을 것입니다 두 번 던진 후에 앞면이 나온 비율이 50%가 되었기 때문입니다 하지만 세 번째 던졌을 때는 다시 뒷면이 나온 것 같습니다 왜냐하면 이제 세 번 중 한 번 혹은 33%만 앞면이 나왔기 때문입니다 네 번째 던졌을 때는 다시 앞면이 나와서 비율이 다시 50%가 되었습니다 다섯 번 던졌을 때는 또 앞면이 나온 것 같습니다 이제 5번 중 3번, 혹은 60%가 앞면이 나왔습니다 여기서 시사하는 바는 실험을 한 번, 두 번, 세 번, 네 번 다섯 번, 여섯 번 할 때는 여러분의 실험적 비율 실험적 확률이 실제 확률과 다를 가능성이 충분히 있다는 것입니다 실제 확률과 다를 가능성이 충분히 있다는 것입니다 이것은 9번, 10번 던질 때까지 계속됩니다 하지만 훨씬 더 많이 던지면 어떻게 될까요? 이제는 다시 200번 더 던져보고 무슨 일이 일어나는지 보겠습니다 그냥 계속해서 던지겠습니다 여기를 보시면 앞면이 계속해서 매우 많이 나왔습니다 그다음에는 뒷면이 계속해서 많이 나왔습니다 그다음에는 앞면 조금 뒷면 조금 나오고 다시 앞면이 계속해서 나옵니다 215번이나 던진 후에도 실험적 확률은 아직도 이론적 확률과 꽤 다릅니다 아직도 이론적 확률과 꽤 다릅니다 그러면 200번을 더 던져서 이 둘이 점차 수렴하는지 봅시다 여기서 실시간으로 보고 있는 것은 큰 수의 법칙입니다 던지는 횟수가 점점 많아질수록 실험적 확률과 이론적 확률이 서로 많이 차이 날 가능성은 점점 줄어듭니다 물론 앞면이 10번 연속, 혹은 심지어 20번 연속 나오는 순간이 있을 수 있습니다 그러나 횟수가 늘어나다 보면 뒷면이 많이 나오는 순간에 의해 균형이 맞춰질 것입니다 계속하겠습니다 거의 800번 던졌습니다 보시면 이제 값이 수렴합니다 좀 있으면 던진 횟수가 1000번에 다다릅니다 여기 보시면 이제 앞면의 비율이 51%입니다 점점 가까워지고 있습니다 50.6%입니다 계속해서 던질 수도 있습니다 지금은 1100번 던졌고 약 1200번에서 1300번 정도에 근접하고 있습니다 하지만 보시다시피 점점 더 많이 던질수록 한 200번 정도만 던졌을 때도 알 수 있었지만 실험에서 얻은 비율과 이론적인 기댓값 사이에는 차이가 있었습니다 이론적인 기댓값 사이에는 차이가 있었습니다 하지만 훨씬 많이 던짐에 따라 이제 1210번 던지니 거의 50%가 앞면이 나오는 것을 볼 수 있습니다 계속해서 더 던질 수도 있습니다 그렇게 한다면 계속해서 훨씬 많이 던진다면 점점 더 50%에 가까워질 것입니다 점점 더 50%에 가까워질 것입니다 값이 다시 크게 달라지는 것이 불가능하다는 말은 아닙니다 하지만 더 많이 던질수록 더 실험을 많이 할수록 그럴 가능성이 점점 줄어듭니다